论文摘要：本文针对输油管的布置问题，运用图解法建立优化模型，并依据所给的数据，运用几何知识，计算出方案的具体解，对题目中的具体问题，建立优化模型，用lingo软件编写程序，从而得出铺设管线最省的方案
论文关键词：层次分析法,权重,优化方案,非线性规划,线性规划,软件
问题提出
1．问题背景
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
（1）两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。若用共用管线还应考虑共用管线与非共用管线费用相同或不同的情况。
（2）需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
|
工程咨询公司 |
公司一 |
公司二 |
公司三 |
|
附加费用（万元/千米） |
21 |
24 |
20 |
（3）为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
2问题分析
对于问题1:要设计输油管线的最优铺设方案，根据共用管线与非共有管线单位费用是否相同以及是否有共用管线，找出费用最少的铺设方案，即是铺设线路最短。所以，要是费用最低，应该设计铺设线路最短的方案，
对于问题2：已知两炼油厂的具体位置，求费用最低的铺设线路的方案，是一个非线性规划问题。解决的问题是首先确定附加费用的大小，然后确定非线性规划数学模型。
对于问题3：在问题二的基础上，改变目标函数中相关系数即可得到最优解。
3模型假设
（1）假设B炼油厂离铁路的距离大于等于A炼油厂的距离。
（2）车站的位置由方案最优解所确定。
（3）铁路线是笔直的；
（4）管道的市厂价格稳定；
（5）两炼油厂A、B及车站所在位置视为三个质点；
（6）三个质点位于同一平面内
4符号说明
A表示炼油厂1；
B表示炼油厂2；
E表示站点；
x轴表示铁道；
a表示炼油厂A到铁路线的垂直距离；
b表示炼油厂B到铁路线的垂直距离；
c表示A、B间相对于铁路的水平距离；
z表示铺设管道的路线总长度；
W表示铺设管道所用的总费用；
表示共用管线与非共用管线费用相同时每千米的单价；
表示共用管线与非共用管线费用不相同时，共用管线每千米的单价；
表示共用管线与非共用管线费用不同时，非共用管线每千米的单价；
5模型的建立与求解
5.1问题1模型的建立与求解
由两厂A、B向铁道做垂线，A与B垂线间的距离为c，建立平面直角坐标系（如图1至图4）,设点A
，B
。
5.1.1当
时,输油管线的设计方案
当c=0时，炼油厂A，B在一条垂直于铁路的直线上，因此得方案1（如图1）：将车站建在坐标原点,铺设共用管线OA及非共用管线AB。此时铺设管线总长度最小为
，即铺设管线总费用最省。
当共用管线与非共用管线单位费用相同时，最少费用为：
当共用管线与非共用管线单位费用不同时，最少费用为：
0
图1图2
5.1.2当
时，输油管线的设计方案
（1）若不铺设共用管线
如图2,作点A关于x轴(铁路线)的对称点
，连接B
与X轴交于点E，易求E
,依据“三角形两边之和大于第三边”可知EA与EB长度之和最小。因此可得方案2：如图2,将车站建在E点,铺设非共用管线EA及EB。此时铺设管线总长度最小为
，即铺设管线总费用最省。最少费用为：
（2）若铺设共用管线
问题的目标是铺设管线总长度最小，因此铺设管线共用管线最合理的方式是共用管线与铁路线垂直。如图3，设三管线的联结点为Q
，过点Q作平行于x轴的直线L。首先在在直线L上寻找使QA与QB长度最小的点Q，与（1）同理作点A关于直线L的对称点
，连结
B与直线L交于点Q,Q
即为所寻找点。
图3图4
因此，铺设管线总长度为：
，此时应有
，令
得驻点
。
当
，即
时，
，z取得最小值
。此时易求
,
。
因此可得方案3：将车站建在点E（
）,铺设共用管线EQ及非共用管线QA与QB。此时铺设管线总长度最小为
，即铺设管线总费用最省；
共用管线单位费用与非共用管线单位费用相同
共用管线单位费用与非共用管线单位费用不同时
②当
，即
时,
，所以z在y
上为增函数，所以当y=0时，z取得最小值
。
此时按方案2铺设管线总费用最省。
③当
，即
时,
，所以z在y
上为减函数，故当y=a时，z取得最小值
。因此可得方案4：如图4，将车站建在坐标原点,铺设共用管线OA及非共用管线AB。此时铺设管线总长度最小为
，即铺设管线总费用最省。
共用管线单位费用与非共用管线单位费用相同时
共用管线单位费用与非共用管线单位费用不同时
综上可得，针对a、b、c不同关系下的各种情形，得管线铺设的最佳方案如下：
|
a、b、c的关系 |
|
|
|
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最佳方案选 择 |
方案4 |
方案3 |
方案2 |
方案1 |
|
最低费 用W |
|
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（3）若铺设共用管线且共用管线单位费用与非共用管线单位费用不同
设共用管线单位费用为非共用管线单位费用的
倍，即
=
。
运用（2）所用方法同理可得各种情形下管线铺设的最佳方案：求得
，
，E（
，0），Q(
,
)
|
C的取值 |
|
|
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方案选择 |
方案4 |
方案3 |
方案2 |
方案1 |
|
最低费用W |
|
 
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5.2问题2模型的建立与求解
5.2.1对各因素权重的确定
通过引入两个因素对附加费用影响的程度大小的比值得到成对比较矩阵如下：
其中
=2即表示公司一和公司二对附加费用的影响之比为2:1；
=1即表示公司二和公司三对附加费用的影响之比为1:1。求出对比矩阵
的最大特征根为
，对应的特征向量归一后为
即3种因素在弊端指数中所占的权重，由此我们可以得到
所以附加费用为：
5.2.2模型建立与求解
图6图7
设点
，则铺设管线的总长度为（如图6）：
建立目标函数：Min
约束条件：
输入lingo2（见附录）程序得到：
万元
（如图7)。
5.3问题3的模型建立与求解
5.3.1模型建立
如图6所示，建立目标函数：
Min
约束条件:
0
输入lingo4（见附录）程序得：
万元
（如下图）。
6模型评价
6.1模型的优点：
1模型原理简单明了，容易理解
2运用lingo程序进行计算，是计算结果更加准确。
3模型原理简单明了，容易理解
6.2模型缺点：对问题一考虑情形不完全。
