浅谈双拉试样裂纹扩展过程中的应力强度因子计算

论文导读:：本文将使用一种界面单元来解决二维裂纹的静态扩展问题。这种界面单元基于虚拟裂纹闭合法，利用商业有限元软件ABAQUS的用户自定义单元UEL功能，发展为界面断裂单元，计算应变能释放率（和）。在裂纹尖端的两个节点间设置一个特殊刚度的弹簧，并引入哑节点计算裂纹尖端后面的张开位移和裂纹尖端前面的虚拟裂纹扩展量。采用这种单元计算应变能释放率时不需要使用奇异单元或折叠单元，不会出现收敛问题，也不需要复杂的后续处理。因此，采用这种断裂单元分析二维裂纹扩展问题是方便的、高效率的，而且也能得到可靠的精度。
论文关键词：虚拟裂纹闭合法，线状裂纹，哑节点断裂单元

　　1 引言
　　船体结构需要足够的安全性和可靠性，以便最大程度的减少由于船舶断裂事故所造成的人员伤亡、财产损失和环境污染。尽管断裂力学的发展已经对此做出了巨大贡献，然而船体解体断裂的事故仍未消失。图1给出了两艘油轮断裂为两截的照片。由此可见，相隔六十多年之后，类似的事故还在发生。防止船体结构大规模断裂事故的手段之一是使用高强钢[1-3]和船体止裂钢[4-7]。对于这类船用钢，小尺度的标准断裂试样难以有效的用来评估船体结构的抗断能力。因此，全板厚的双拉试验就成为研究船体结构钢止裂能力的重要手段。
　　图1 (a) Schenectady号油轮断裂为两截 (1943年); (b) Elli号油轮断裂为两截(2009年)
　　图2给出了双拉试验的典型试样示意图[1]。该试样由试验段和加载段组成。主载荷（也就是试样段的工作载荷）通过加载段作用在试验段上。副载荷直接作用在试验段上，主要用来触发裂纹起裂。通常会在试验段上施加温度梯度。当裂纹进入较高的温度区域后，有可能止裂。
　　
　　图2双拉试验典型试样示意图
　　 本文采用通用商业有限元软件ABAQUS，计算双拉试样裂纹扩展过程中应力强度因子随裂纹长度的变化。将Xie和Biggers[8, 9]提出的哑节点断裂单元布置在裂纹扩展路径上。该单元以虚拟裂纹闭合法(VCCT)为计算基础，通过ABAQUS用户自定义单元UEL实现。将计算结果与解析解和他人的数值结果相比较，证实的计算模型和计算结果的可靠性，为进一步开展双拉试验奠定基础。
　　2 哑节点断裂单元
　　
　　图3 哑节点断裂单元的定义与节点编号
　　图3 给出了哑节点断裂单元的定义与节点编号。图中的节点1和节点2、节点3和节点4、以及节点5和节点6分别是重合的，及图中的间隙在有限元模型中其实是不存在的。在节点1和节点2之间放置特殊刚度的弹簧，用来计算节点力和；而节点3至节点6对单元的刚度矩阵并没有贡献，它们的引入仅仅是为了提取相关信息以计算节点张开位移和以及虚拟裂纹扩展量，因而称为“哑节点” [8, 9]。
　　根据虚拟裂纹闭合法[10]，I型裂纹的应变能释放率可计算如下：
　　 ，(1)
　　其中为裂纹体的厚度。对于线弹性材料而言，可以将能量释放率转化为应力强度因子：
　　(2)
　　式中：对于平面应力状态线状裂纹，；对于平面应变状态，，和分别为材料的弹性模量和泊松比。
　　虚拟裂纹闭合法具有对有限元网格尺寸不敏感和对裂纹尖端不需要特殊处理等优点，体现了计算精度和计算效率的有效平衡。
　　3算例
　　3.1无限长板条中平分板条的半无限长裂纹实例[4]
　　宽度为（=10mm）的无限长板，有一平分板条的半无限长裂纹，沿长边有一位移，如图2所示。其中应力强度因子为
　　
　　图2 无限长板条有一平分板条的半无限长裂纹
　　(10)
　　对于平面应力单元
　　(11)
　　其中为泊松比，为材料的剪切弹性模量。材料属性为：弹性模量MP、泊松比，线性膨胀系数。沿Y轴方向拉伸长度mm，平分板条的半无限长裂纹开始扩展，得解析解，虚拟裂纹闭合法的计算结果 ，两者皆为常数，相对误差为-4.6%。裂纹扩展前尖端的断裂单元和裂纹张开后的断裂单元（局部放大图）如图3所示。
　　无限长板的两条长边固定，整个板的温度降低，采用虚拟裂纹闭合法的计算结果为论文参考文献格式。由此，可以得出无限长板温度降低时，平分板条的半无限长裂纹的应力强度因子为：
　　(12)
　　
　　图3裂纹扩展前尖端的断裂单元和裂纹张开后的断裂单元（局部放大图）
　　3.2 静态裂纹扩展验证实例
　　下面以单边缺口拉伸试样为例，采用平面应力单元（ABAQUS标准单元CPS4）和平面应变单元（ABAQUS标准单元CPE4）分别施加均布应力和固定位移两种边界载荷条件进行计算，并将起计算结果和解析解相比较。
　　试样长度为80、宽度20、厚度为1。由于试样的对称性，只对右半边划分网格，所用的单元数为40×80。其应力强度因子的表达式为
　　， (13)
　　式中的形状因子函数为
　　
　　(14)
　　
　　图4 单边缺口拉伸试样应力强度因子
　　
　　图5 长宽相等的单边缺口拉伸试样应力强度因子
　　
　　CPS4单元施加固定位移CPS4单元施加均布载荷
　　 　　图6 CPS4单元分别施加固定位移和均布载荷裂纹扩展图
　　
　　图7 长宽比2：1的单边缺口拉伸试样应力强度因子
　　由图4可知，为试样施加均布应力的解析解；为试样施加固定位移的解析解。无论是采用平面应力单元和平面应变单元进行分析，和解析解吻合的都很好。说明了应用虚拟裂纹闭合法计算应力强度因子是可靠的。当在试样上施加均布应力时，试样的应力强度因子增加的速率要比施加固定位移时应力强度因子增加的速率大，而且裂纹扩展到末端时应力强度因子急剧增加，施加固定位移的应力强度因子在整个裂纹扩展过程中增加相对平稳。
　　图5试样的长宽比为1:1，厚度为20mm，所用的网格尺寸为10mm，采用平面应力单元和平面应变单元分别施加均布应力和固定位移两种边界载荷条件进行计算。无论是采用CPS4单元还是CPE4单元计算的结果都和解析解吻合的很好，而且两者的计算结果也吻合很好。CPS4单元分别施加固定位移和均布载荷裂纹扩展图如图6所示。图4中试样长宽比4：1，图7中试样的长宽比为2：1，图5中试样的长宽比为1：1，两者的计算结果都和解析解吻合的很好，说明了应用虚拟裂纹闭合法在计算长宽比不同的试样的应力强度因子时，都能得到较为精确的计算结果。
　　图8为将图7两边沿长度方向上延长至两圆心的间距为3500mm，延长[5]部分板的厚度为30mm，分别采用CPS4单元还是CPE4单元在圆心处使用销接触，并施加固定位移线状裂纹，并将计算得到的结果与解析解相比较。
　　
　　图8 试样的整体外形
　　
　　图9 有限元计算结果
　　由图9计算结果可见，试样计算结果与参考文献给出的静态应力强度因子值吻合的很好，并且两者介于两种解析解之间，这是由于在试样延长部分上施加固定位移，延长部分受力的作用，在试样中间部分既不是施加均布应力，也不是施加位移，而是介于两者之间。
　　3.3 热弹性问题的应力强度因子
　　无限大板内含有一半径R=10mm的圆孔[6]，在板的Y轴方向上有一裂纹，板受均匀热流。模型采用CPS4T单元。具体建模方式如图1。中心部分的单元沿径向方向铺设，建模方式如图10
　　
　　 整体有限元模型 局部放大图
　　图10 无限大板的有限元模型
　　模型的材料属性为：弹性模量、线膨胀系数。模型下端温度℃，上端温度℃。模型的长宽都为524.44mm。使用有限元计算该热弹性问题的应力强度因子。计算后的温度场和裂纹扩展后的局部放大图如图11所示。
　　
　　模型的温度场分布裂纹扩展图
　　图11 温度场分布及裂纹扩展图
　　参考《应力强度因子手册》中受均匀热流的孔边裂纹的解析解
　　式中(16)
　　
　　图12 温度延宽度方向线性变化
　　
　　图13 F随a/R变化曲线
　　为不受干扰时的温度梯度，随的变化见图13，此模型中。
　　图12清晰的表明，温度场沿均匀热流方向线性变化，即温度梯度为常数。模型在常物性、无内热源的一维稳态导热条件下计算得到的应力强度因子如图14所示。将数值计算结果与参考解相比较，两者吻合的很好。最大相对误差为-3.88%。说明了用虚拟裂纹闭合法计算关于这种热弹性问题的应力强度因子是相对可靠的。
　　
　　图14 有限元计算结果
　　4结论
　　本文说明了断裂单元在解决二维裂纹扩展中应用，验证了其准确性。采用这种单元计算应变能释放率时不需要使用奇异单元或折叠单元，不会出现收敛问题，也不需要复杂的后续处理，说明了采用这种断裂单元分析二维裂纹扩展问题是方便的、高效率的。随着有限元软件的发展，虚拟裂纹闭合法分析工程结构的断裂问题已成为了一个趋势。

参考文献
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