论文导读：几何证明题中的证明思路灵活多变。尤其是对如果需要添置辅助线才能证明或解答出结论的题目。我认为添辅助线应遵循以下三个原则。
关键词：几何证明，辅助线，原则
1、添辅助线的目的
几何证明题中的证明思路灵活多变，尤其是对如果需要添置辅助线才能证明或解答出结论的题目，学生往往就感到束手无策了，这类考查学生解决问题能力的题目，需要在认真审题，分析题目的基础上，在适当位置上添辅助线以辅助证明，才能找到解决问题的方法。
辅助线是什么呢？辅助线是为了几何命题证明的需要，在原图上添画的线，是将已知条件和未知条件紧密联系在一起，为实现解题思路而架设的桥梁。辅助线在几何证题中起着桥梁作用和化难为易的作用，它是几何证题中强有力的工具。那么应如何添辅助线呢？有无规律可循呢？辅助线没有一个固定的模式可循，是一种难度很大也饶有兴趣的技巧，非经过长期的磨练不可，不适当的辅助线非但无助于解题思路的发现和展开，反而使图形更加凌乱，使问题更加复杂，因此要靠自己多实践，从中摸出一些可行的规律，做到有目的的添加辅助线。我认为添辅助线应遵循以下三个原则。
2、添辅助线的三个原则
原则2.1、释放已知条件内涵
在几何证明中综合法是经常用到的，即从已知条件出发，根据已知的公理、定理等，逐步推理达到证出结论成立的目的，也就是由因导果，当题目较复杂时，用综合法，深挖已知中的隐含条件，力求掌握已知的全部内涵，用来加深推理，朝结论方向前进。这时从释放已知条件内涵的目的出发，适当添加辅助线将已知中的隐含条件充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的结论，达到推导出结论的目的。根据已知条件添加辅助线一般有以下规律：
2.1.1与三角形有关的辅助线
如遇条件中有高，角平分线则可用“翻折造全等”来作辅助线；如遇条件中有中点、中线则可用“中点配中点，连成中位线”，“延长中线成倍长，造成全等三角形或平行四边形”来作辅助线。
例1：已知在
中，
，AD是
的角平分线。
求证：
分析：要证，直接从已知条件进行推导是行不通的，
那么就需要添辅助线，因此从释放已知条件内涵出发，
尽量寻找新的条件，已知条件中AD是的角平分线，
则可用“翻折造全等”作辅助线，可以把AD看成对称轴，
把
绕AD翻转
，得
，有
，这样就将BD转移到DC所在的
中，此时只需比较
即可，又因为
则
，所以
，即。
证明略。
2.1.2与四边形有关的辅助线
如遇条件中有中点、中线则所用规律与三角形相同；若为梯形则可以平移一腰，延长两腰，从小底的两端向大底引垂线，作中位线；若为四边形可平移对角线；平行四边形的辅助线添加法类似于梯形。
例2：在梯形ABCD中，
//BC，
。
求证：AB=DC。
分析：要证AB=DC，只有根据已知条件，添加适当的辅
助线把已知和结论联系起来，才能找到解题思路；由于
四边形ABCD是梯形，所以可按规律平移一腰，将
DC平移至AE，这样就把AB，DC放在了同一个三角
形中，即
，于是只需证AB=AE，又因为
，，从而
，
所以AB=AE。
证明略。
2.1.3与圆有关的辅助线
如遇条件中有切线，则作弦切角；两圆相交作公共弦或连心线；两圆相切或相离作内外公切线或连心线；如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，弦心距为辅助线；条件是圆的直径或半径，则经过直径或半径端点的切线为辅助线。
例3：⊙
和⊙
相交于P，Q两点，AB是外公切线，A，B都是切点。论文发表。
求证：
分析：要证，根据
图形的特点可以通过添辅助线把
和
三角形的内角和联系起来，由于已知条件中有⊙和⊙相交，所以按规律作公共弦或连心线，若作连心线并不能达到目的，于是作公共弦，连接PQ，这样就可以把和
的内角和联系起来；由已知AB是两圆的外公切线，可知
，
；又因为
，则
，即。
证明略。
原则2.2构造所需图形
证明几何题的另一种方法是分析法,即由所需证明的结论向条件追溯逐步到达已知条件为止,也就是执果索因,在分析过程中,图形之间的关系不断发现和认识,当推理达到某一层次,所需的图形关系难以实现时,可设想或预见到要构造某种图形,借以把推理继续下去,这就需要为出现这种图形而添加辅助线。如何构造图形呢？一般可以概括为以下三种情况。
2.2.1模拟构造：即已知图形中存在某种图形，再模仿它作出与之全等、相似或有其它关系的图形。
例4：已知在中，
，AB=AC，BD是中线，AE⊥BD于F交BC于E。
求证：。
分析：证两个角相等，直接推导角之间的关系是行不通的，可借助全等三角形，但已知图形并没有全等三角形，因此要添加辅助线来构造，作
的平分线AG交BD于G，这样就构造了全等三角形，
，
。
证明：作的平分线AG交BD于G，
∵
互余, 
互余,
∴
又∵AB=AC, 
,
∴
∴AG=CE,AD=CD, 
∴
∴.
2.2.2 变换构造：把已知图形中的某一部分平移、翻转或旋转使之出现所需的图形。
例5：在正方形ABCD中，
，E，F分别在AD，DC上。
求证：EF=AE+FC
分析：要证EF=AE+FC，可设想把AE，FC
放在同一条直线上，再与EF比较，于是把
Rt
以B为中心旋转
，得
Rt
，有
，
，，这样就把AE，FC放
在了同一条直线上，即为
，于是只需证
，即证
，又因为
，所以。论文发表。
证明略。
2.2.3对称构造：这种方法多出现在轴对称图形上，所以添加辅助线成对出现、对称出现，这就是对称构造。
例6：已知中，BD，CE分别是
的平分线，且BE=CD
求证：AB=AC
分析：要证AB=AC，只需证
，虽然这两个角分别含在
和
中，而这两个三角形全等的条件不够，因为只有两个条件BE=CD，BC=CB，为此按对称构造的策略添加辅助线。
证明：过点C作CQ∥AB交BD的延长线于Q，过点B作BP∥AC交CE的延长线于P，
∵BP∥AC，CQ∥AB
∴
∴
又∵，
∴
，
∴PB=CB，QC=CB
∴PB=QC
∵BE=CD
∴
∴
∴
∴
∴AB=AC
原则2.3 化繁为简
用原则1、2添加辅助线要注意把复杂的图形分解为简单的图形，把复杂的问题分解为若干个简单的问题，把不规则图形转化为规则图形，使原题转变为较容易解决的问题。
添加辅助线的三个原则是相辅相承的，证题解题过程中，往往要综合运用这三个原则。
例7：已知AD是的的平分线，AD=AB，CM⊥AM。论文发表。
求证：
分析：要证，可设想把
AB，AC，AM放在同一条直线上，由于AD是角平分
线，AM是垂线，那么可通过变换构造把
绕AM
翻转
得Rt
，于是
，
，这样就把AB，AC放在了一条直线上，
如何把AM也放在这条直线上呢？从释放已知条件内
涵出发，由于M是
的中点，那么可按规律“中点
配中点，连成中位线”作辅助线，过M作
∥BD
交
于
则
，又∵AB=AD，则
，又∵
，
∴
，即。
证明略
。
以上例题都是依据释放已知条件内涵、构造所需图形、化繁为简这三个原则添辅助线的，从这些例题的辅助线添置中，可以得出添辅助线不能死记硬背，要从已知条件出发，看已知给出什么图形，再看求证的结论是什么，要推出这个结论应具备哪些条件，利用已掌握的有关知识围绕图形找联系、看变化，从而正确添加辅助线，找出解题思路；另外只有经过不断做题、总结、积累才能添好辅助线。
参考文献：
[1]王长明. 怎样添加平面几何辅助线[M]. 中国致公出版社, 2003年.
[2]袁晓东. 浅谈几何辅助线[M]. 北京师范大学出版社, 1984年.
[3]严济慈. 几何证题法[M].高等教育出版社,1983年.
