浅析焦点弦公式及其应用

焦点弦公式及其应用
论文关键词：焦点弦公式,应用

　　在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．

　　为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．

　　设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式 ，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．

　　１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；

　　２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．

　　

下面对焦点弦公式进行证明．

　　证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线 L:上．由直线L和椭圆C的方程可得

　　．

　　设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为

　　∵焦准距为,∴．当时，公式也成立．

　　对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．

　　证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．

　　∴

　　．即．

　　当时，同理可以推得．

　　利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．

　　一、在椭圆中的应用

　　例1 （2008年高考安徽卷文科22题）

　　已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．

　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；

　　（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：

　　（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．

　　解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．

　　故所求椭圆C的方程为．

　　（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为， ，，，。

　　由焦点弦，可得=得证．

　　（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。因而

　　，，

　　

　　。

　　当且仅当即时取“＝”．所以的最小值是．

　　二、在双曲线中的应用

　　例2(2006年高考安徽卷22题)如图5，F为双曲线C： 的右焦点、P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点,已知四边形为平行四边形，．

　　（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

　　（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，

　　若，求此时的双曲线方程．

　　解:（Ⅰ）∵，，

　　

设右准线交PM于H，则，

　　又,∴．

　　（Ⅱ）当时，由得，即．由得，

　　由此得双曲线为．

　　∵时,, ,．

　　在中,．

　　P点的坐标为,则,．即．

　　令AB与的夹角为,由AB∥OP得,．

　　∵,∴,解得,即．

　　由，可以解得．故所求双曲线的方程为 ．

　　三、在抛物线中的应用

　　例3 (2006年高考全国Ⅱ卷第21题）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

　　（Ⅰ）证明为定值；

　　（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．

　　解：（Ⅰ）可设,,AB的倾斜角为,则AB的斜率．由知AB过焦点．所以AB的方程为．将此式代入 得．则．

　　∵,∴过A、B两点的切线方程分为，．

　　由此解得:,．即点M为．

　　所以 , ．

　　∴为定值．

　　(Ⅱ)∵抛物线的焦准距,过焦点F的弦AB与对称轴夹角为．

　　∴．

　　又,由知．

　　∴△ABM的面积为．

　　当,即AB与轴平行时,F点是AB的中点,,△ABM的面积S有最小值4．

　　求的表达式的方法如下:∵,

　　∴．设,则可以解得

　　．又，．

　　∴．

　　四、综合应用

　　(2009湖南卷理)（本小题满分13分）

　　在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　　（Ⅰ）求点P的轨迹C；

　　（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

　　解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 ①

　　当xkeyimg1662时，由①化简得 w..u.c.o.m当时,由①化简得 .

　　故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1

　　（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.

　　设直线l直线l与x轴的夹角时，或时，此时有 .因为，

　　所以.由焦点弦公式得

　　．

　　当且仅当即时，等号成立。

　　（2）当时，可设点在上，点上，

　　则由焦半径公式得　.

　　设直线AF与椭圆的另一交点，则，．

　　

　　所以　。而点A，E都在上，且

　　 有（1）知

　　综上所述，线段MN长度的最大值为

　　巩固练习

　　1、设过椭圆焦点F的弦为AB，中心为O．求面积的最大值．

　　2、过双曲线的焦点作倾角为的弦AB．求AB的长．

　　3、（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________

　　4、（2006年高考江西卷第21题）如图6，椭圆Q：的右焦点为，过点F的一动直线绕点F转动，并交椭圆与A、B两点，P为线段的AB的中点．

　　⑴求点P的轨迹H的方程;

　　⑵若在Q的方程中，令．确定的值，使原点距椭圆Q的右准线最远．此时，设与轴交点为D，当直线绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
参考答案
1、．（提示∵∴ ,．
则．
∴．)
2、．（提示 ，．．）
3、【答案】：2
（提示∴．∴）．
4、⑴．⑵．（提示∵,
∴．当时,原点到右准线的距离取最大值2．此时 ,,椭圆Q的方程为．
设线段AB与椭圆长轴的夹角为,由于,则
,点D到线段AB的距离为．．
当且仅当,即轴时,的最大值为）．