吴文海1， 刘锦涛1， 李静2， 杨维保3
（1．海军航空上程学院青岛校区，山东青岛266041；
2．海军航空工程学院战略导弹系，山东烟台264200；
3.中国人民解放军91423部队，山东莱阳265200）
摘 要：为实现四旋翼大姿态角快速跟踪控制，在SO(3)空间中设计了一种非奇异快速终端滑模控制器，所设计的控制具有较为简洁的结构，避免了欧拉角姿态表示奇异及局部线性化的问题。改进的趋近律可加速系统远离滑模态的趋近速度且能有效去除抖振；通过Lyapuncw稳定性理论对所设计的控制器进行了严格的稳定性证明；最后进行了姿态控制仿真，结果表明姿态跟踪迅速、精度高且抖振小。
关键词：特殊正交群；终端滑模变结构；姿态控制；四旋翼无人机
中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1671 -637X( 2015)l l-0006 -05
0 引言
四旋翼无人机在诸多领域已得到广泛应用，其飞行控制问题也得到了国内外研究人员的广泛关注。四旋翼姿态控制器的设计是其飞行控制的核心，且性能和鲁棒性要求严格。姿态运动模型具有明显的非线性，目前，四旋翼飞行器常用的控制方法仍然基于线性化模型进行。一些先进的控制方法如滑模变结构控制、鲁棒自适应控制、反演控制等先后被用于解决四旋翼无人机的控制问题，取得了良好的控制效果。但由于欧拉角姿态表示存在奇异性且需要对模型进行线性化，难以实现大角度控制。
本文将在SO(3)空间中建立四旋翼无人机姿态误差模型。为提高系统对参数摄动和外部扰动的鲁棒性，本文基于SO(3)误差模型设计了一种快速终端滑模控制器( NTFS)，对双幂次趋近律进行了改进，实现了非奇异，可加速系统远离滑模态的趋近速度且能有效地去除抖振，通过Lyapunov稳定性证明得到能够使系统全局稳定的控制器。最后，通过仿真验证了所设计控制器的大角度动态跟踪性能。
1 问题描述
本文研究的四旋翼无人机结构如图1所示。图中：e1e2e3为惯性参考坐标系；b1b2b3为机体参考坐标系，b1b2位于4个旋翼中心确定的平面内，分别与四旋翼无人机的两轴重合，第3轴b3与b1，b2满足右手定则。从机体参考坐标系至惯性参考坐标系的旋转矩阵（又称姿态矩阵）构成特殊正交群S0(3)，具有以下性质{R∈R3x3∣RTR =I ，det R=1｝。
四旋翼无人机的姿态运动方程可表示为
式中：J∈R3x3为四旋翼无人机相对机体坐标系的转动惯量矩阵；R(t)∈S0(3)为从机体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵；Ω(t)∈R3为四旋翼无人机在机体坐标系中的角速度；M(t) ∈R3为控制力矩矢量；△R∈R3为干扰力矩，假设△R未知且有界，满足∣∣△R∣∣≤δR；hat映射：:R3→SO(3)定义为使得xy =x×y对任意x，y∈R3均成立的映射关系，hat映射的逆映射表示为vee映射V:R3→S0(3)。
四旋翼无人机在机体坐标系中的力矩矢量可表示为
式(2)中系数矩阵的行列式为8cτfd2，当cτf≠0且d≠0时它是可逆的，因此对于给定的推力大小和力矩矢量M，每个螺旋桨的推力都可以通过式(2)得到。利用该等式，可将推力大小，f∈R和力矩矢量M∈R3看作四旋翼无人机系统的控制输入量u1(t)和u(t)。
控制日标：给定期望的状态轨迹Rd(t)，Ωd(t)，设计控制器u，使得系统状态量R(t)，Ω(t)全局指数收敛到各自的期望轨逊。
为简化推导，在本文后面的推导中，将视情省略时间变量t，例如将R(t)表示为R。本文中ll·ll定义为向量的2范数，ll·ll忆定义为矩阵的Frobenius范数。
对任意的x，y∈R3，A∈R3x3,R∈S0(3)，hat映射和vee映射具有如下基本性质
对于式(1)系统，建立其误差模型如下所述。
定义
显然，eR，eΩ∈R3。
其误差状态方程为
其中
观察式(9)可知eΩ是比eR高阶的状态量。由式（9）可得二阶误差方程
下面分析E(R，Rd)奇异性：令Q=RdTR∈S0(3)，根据罗德里格斯公式，存在x∈R3，其中ll x ll≤π，使得
利用Matlab Symbolic Computation Tool，可求得矩阵Q的特征值为
由此可得
对于式(7)、式(8)所描述的模型，利用式(13)和式（14）可得E(R，Rd)的特征值为
进一步得
式(16)表明E（R，Rd）仅在ll x ll=π/2和ll x ll=π时是不可逆的。
2 控制系统设计及稳定性分析
2.1控制器设计
选取NFTSM滑模面如下形式
注：在实际工程应用中，对eR的直接微分很可能会导致噪声信息的放大，本文利用陀螺测量的角速度值及期望加速度值通过式(8)得到eΩ，再由式(9)计算得到eR。
在文献[15，20]的基础上，设计一种无奇异趋近律，通过在趋近律中增加高幂次项，构成双幂次形式，可加快远离平衡点时的趋近速度，通过抵消状态负指数项，可有效避免远离平衡点时可能出现的“收敛停滞”现象。选取双指数趋近律，为抵消控制器设计中的负指数项，点乘向量l eRld-1项，最终得到趋近律如下所示
1，故式(19)中的指数皆大于零，此时控制律无奇异。
2.2“收敛停滞”分析
设
，由于式(18)趋近律中存在eR指数项，如果参数选取不当，eR中的x21，x22，x23某一项先于S中对应的s1，s2，s3趋近于零，会使收敛速度相当缓慢，称为“收敛停滞”问题。双幂次趋近律由于增如了S的高次项，可加速在e1i，e2i>>1，i=l，2，3时的收敛速度，由于向量展开后的结构对称性，展开后取其中一项（x1i，x2i，si）∈{（x11，x21，s1)，（x11，x22，s2），(x13，x23，s3)}进行如下分析。
整理式(20)得
当k1，k2≥dm2-1ll J -1ll δR时．V≤0，此时系统是指数渐近稳定的。
证毕。
3仿真分析
设目标飞行器的转动惯量
单位为kg·m2，质量m =0. 455 kg。
滑模控制器参数设为a=2，b=1/2，c=7/3，d=5/3，k1=k2= 20.5，m1 =0.1,m2 =8.
增大M2可加速滑模收敛速度，但同时会产生比较大的控制输出，可能导致出现输出饱和。增大k1，k2可增加趋近速度，但过大会加剧颤振以及产生超调。在参数选择上应折衷考虑以上情况。
四旋翼设为零初始条件（位置、速度、姿态、角速度均为0），仿真时间为0.5 s。
仿真结果如图2所示。当大角度指令时，姿态误差函数eR（见图2a）、姿态误差变化率函数eR(见图2b)和滑模面S（见图2c）都能在较短的时间内收敛，且控制器力矩输出也较为平滑（见图2d）。
仿真2设置转动跟踪指令
，姿态跟踪仿真结果如图3所示。当动态跟踪时，姿态误差函数eR（见图3a）、姿态误差变化率函数eR（见图3b）和滑模面S（见图3c）都能在较短的时间内收敛，且控制器力矩输出也较为平滑（见图3d）。
4结论
本文建立了适用于滑模变结构控制的SO(3)姿态误差模型，并以该模型为控制对象，设计了一种NTFS控制器，并对其趋近律进行了改进，得到了系统几乎全局稳定的结论，实现了对四旋翼无人机的SO(3)滑模变结构控制。仿真试验表明，所提出的终端滑模变结构控制方法具有快速而良好的跟踪性能。本文所提出NTFS控制器可应用于类似的刚体姿态控制系统，具有良好的可推广性。
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