不同机制条件下的煤层瓦斯流动方程研究

 王洪磊，王登科，姚邦华

（1．河南理工大学河南省瓦斯地质与瓦斯治理重点实验室一省部共建国家重点实验窒培育基地，河南焦作454000；2．河南理工大学安全科学与工程学院，河南焦作454000；3．煤炭安全生产河南省协同创新中心，河南焦作454000）

摘要：气体流动可分为连续流、滑流、过渡流、自由分子流，为研究不同流动机制下的煤层瓦斯流动规律，在充分考虑了不同扩散机制和滑移边界条件后，建立了适用于不同流动机制的煤层瓦斯流动方程，深入分析了视渗透率和达西渗透率的比值随Knudsen数的变化关系。研究结果表明：所提出的煤层瓦斯流动方程能准确描述包括达西流、滑流、自由分子流、过渡流在内的气体流动行为。瓦斯气体在煤层孔隙、裂隙中流动过程中浓度扩散和粘性流同时存在，当Kn<0. 01时，粘性流起主导作用，瓦斯流动满足渗流方程；当Kn,> 10时，浓度扩散起主导作用，瓦斯流动符合扩散方程；在Kn,的其他范围内，煤层孔隙裂隙中瓦斯流动以滑流、过渡流为主，在对之进行评价时应同时考虑扩散项和渗流项。研究结果可为揭示煤层瓦斯流动机理、提高煤层瓦斯抽采率和煤层气的产量预测准确度提供新方法和新途径。

关键词：煤层瓦斯；瓦斯扩散；瓦斯渗流；Knudsen数；流动机制

0  引言

 煤层瓦斯流动不仅对煤层气开采和煤层瓦斯抽采有着重要的影响，而且与我国煤矿安全生产和煤矿瓦斯灾害防治息息相关，所以系统深入研究煤层瓦斯流动规律对煤层气开发、煤矿瓦斯灾害治理具有重要意义。气体流动机制有连续流、滑流、过渡流、自由分子流，不同的流动机制对应不同的流动方程，深部煤岩一般渗透性较差，内部纳米级微孔充分发育，气体分子在纳米级孔隙中流动存在多种流动机制。一般认为，瓦斯在煤层微孔中流动是符合扩散定律，孔径较大时瓦斯流动符合达西定律。大量的实验研究结果表明，较低气体压力条件下低渗煤岩渗透率随压力升高而减小，达西定律并不适用于煤层瓦斯流动。Klinkenberg研究认为，当多孔介质的孔隙尺寸与分子自由程相当时处于管壁处的分子也会具有一定的速度，这样就多出了一个附加流量，这种现象被称为滑脱效应，也被称为Klinken-berg效应。Wang Dengke等提供了一种考虑压缩因子的煤层真实气体滑移流动公式，认为滑移边界条件在计算煤层瓦斯流动时不能忽略。

 国内外众多学者对适用于不同流动机制的流动方程进行了研究。Beskok等通过对广义的Hagen - Poi-seuille方程修正给出了一种变量包含Kn,数的具有严格推导过程的微孔气体流动方程，该方程具有二阶精度滑移边界条件，从连续流到自由分子流都适用，并使用DSMC、LBM和实验数据对方程进行了验证。Ziarani等在Beskok的工作基础上提出了带Knudsen修正系数的多孔介质渗流方程，认为在过渡流和自由分子流时使用该方程比使用Klinkenberg系数的精度更高。Civan对比分析了Beskok方程和Klinkenberg方程，对公式中系数进行修正，使计算模型与实验数据拟合度更高。

 Javadpour提出的考虑努森扩散和滑移边界条件的多孔介质渗流方程已被广泛应用于页岩气流动研究。努森扩散适用于分子平均自由程远大于孔隙直径的情况，当分子平均自由程小于孔隙直径的时候扩散并不符合努森扩散定律。

 本文在前人研究的基础上，通过分析分子运动，得到了更符合实际的滑移边界条件，充分考虑不同扩散机制和新的滑移边界条件后建立适用于不同流动机制的煤层瓦斯流动方程。分析了模型的视渗透率与达西渗透率比值随Knudsen数的变化关系，并通过实验的方法验证了新方程在过渡流领域的适用性。本文研究结果为清楚揭示煤层瓦斯流动机理提供理论支撑。

1  Knudsen数和流体流动机制

1.1Knudsen数

Knudsen数是定义为分子平均自由程A（一个分子在两次碰撞间走过距离的平均值）与流动特征长度L之比的一个无量纲参数，在致密的多孔介质，流动特征长度L等于孔隙半径r，煤层中瓦斯流动Kn,定义为：

 式中：u为气体粘度，Pa．s；p为气体压力，Pa；r为孔隙半径，m；R为气体常数，J/( mol．K)；M为摩尔分子质量，kg/mol；r为温度，K。

1.2气体流动机制

 多孔介质中气体流动根据Kn,数可以分为四种流动机制：

1. 续流（粘性流），当Kn<0.01时，气体流动满足连续介质假设，管壁表面气体分宏观速度，无滑移条件的流体动力学方程（N-S方程）能够描述这类气体流动。气体在多孔介质中流动符合达西定律：

式中：u。为压力梯度作用下无滑移边界渗流速度，m/s；k。为达西渗透率，m2。k。满足方程：

 式中：r为多孔介质等效管束半径，m；中为多孔介质孔隙率。

②滑流，当0. 01<Kn,<0.1时，处于管壁表面的分子也会具有一定的速度，即在壁面产生滑移。N-S方程仍然有效，但要使用滑移边界条件。描述气体在多孔介质中流动需使用Klinkenberg方程。

 式中：c为接近于1的常数。结合式(1)、(2)、(3)，根据式(4)可得Klinkenberg方程等效渗透率与达西渗透率比值K。：

③过渡流，当0.1< Kn,<10时气体变得稀薄，连续性假设不再成立，N-S方程不再成立。分析气体流动应当使用较为复杂的Burnett方程。

④自由分子流，当Kn,>10时，气体变得更加稀薄，气体分子与壁面的碰撞占主导地位。分析气体在多孔介质中流动可以使用Knudsen扩散方程：

瓦斯气体满足理想气体状态方程，则

将式(6)代入式(7)并结合式(l)、(2)、(3)，可得Knudsen扩散方程等效渗透率与达西渗透率比值Kp:

不同Knudsen数条件下各流动机制以及对应的方程如图1所示。

2数学模型

动量传递是在垂直于实际流体流动方向，动量由高速区向低速区转移的过程；质量传递是物系中一个或几个组分由高浓度区向低浓度区转移的过程。纳米孔两端存在压力差，一方面流体在压力梯度作用下气体动量增加会产生一个宏观速度，满足动量传递定律（即在压力梯度作用下气体发生粘性流动）；另一方面气体是可压缩流体，在较高的压力梯度作用下纳米管两端将存在一个浓度梯度，在浓度梯度作用下气体分子通过扩散传质，满足扩散定律。多孔介质气体流动分为压力梯度作用下的渗流和浓度梯度作用下的扩散两部分，只有同时考虑浓度扩散和粘性流动才能够准确地描述气体在多孔介质中的流动规律。通过纳米孔的总通量由压力梯度作用下的粘性流通量和浓度梯度作用下的扩散通量两部分组成：

 式中：v，为视质量通量，kg/( m2．s)；VA为压力梯度作用下粘性流质量通量，kg/( m2．s)；”。为浓度梯度作用下扩散质量通量，kg/( m2．s)。

2.1  粘性流动

气体在圆管内流动时，孔壁表面附近的气体分子具有一定的速度，这样实际的通过孔隙的流体量要比Poi-seuille方程的计算值要稍大。若在靠近孔壁的小于气体平均自由程A区域内的气体分子不与其他气体分子发生碰撞，则分子其最后一次碰撞处的速度指向孔壁。假设孔隙壁表面气体层拥有速度w。，则垂直壁面f处的速度w，满足：

式中，2为孔壁碰撞的分子上一次碰撞处距孔壁距离，Klinkenberg认为f- cA，c可以理解为分子间的碰撞次数与总碰撞次数之比，是一个接近于1的一个常数。一般认为，Klinkenberg方程适用于Kn数小于0.1的条件，即r。> 10A，此时分子平均自由程远小于孔隙半径，分子与分子间碰撞的概率远大于分子与孔壁的碰撞，则与孔壁碰撞的分子在上一次碰撞后走过的距离可近似为分子平均自由程A。当Kn数较大（即分子平均自由程远大于孔隙半径），分子间的碰撞概率远小于分子与孔壁之间的碰撞，与孔壁碰撞的分子上一次碰撞有可能是与孔壁的碰撞，这样在两次碰撞之间分子经过的距离将小于分子平均自由程A，可用分子平均自由程和孔径来表征孔壁碰撞的分子上一次碰撞处距孔壁距离l：

 式中：r。为圆管半径，m。由式(10)可知，当Kn数小于0.1时，Klinkenberge方程中c满足0.91 <c<1。

 气流分子在物体表面的反射与光滑弹性球在光滑完全弹性表面上的反射相同（即气流分子与物体表面发生碰撞后，只在法向方向改变速度，其余方向的速度分量不变），这样以来气体反射流与入射流产生的正压力大小相同，方向相反，总剪应力为零，碰撞过程无能量损失，此种情形为纯镜面反射。如果气体分子在碰撞后离开壁面时以M axwll分布散射出去的话，将会损失部分能量，气体分子在水平方向的速度将会变为原来的一半，此种情形为完全漫射。

分子在表面反射的实验中表明，纯镜面反射模型或者完全漫反射模型不能很好地描述分子在表面散射的真实情况。M axwell提出一个由两种反射组合而成的模型。假设气体分子的a部分完全漫射，而其余（1-a）部分完全镜面反射，这一散射模型称为M axwell散射模型。根据M axwell散射模型可得孔壁表面速度w。满足：

2.2扩散

 扩散是在浓度梯度条件下气体分子的不规则热运动的结果，依据Kn,数可将扩散机制分为普通扩散、努森扩散和过渡扩散。当Kn数较小时，孔隙直径远大于分子平均自由程，分子间碰撞几率远大于分子与壁面的碰撞，称之为普通扩散；当Kn,数较大时，孔隙直径小于分子平均自由程，分子间的碰撞几率变小，在浓度梯度驱使下气体分子和壁面碰撞发生漫射而形成宏观流动，此时扩散通量满足努森扩散定律，称为努森扩散；分子平均自由程和孔隙直径相当时，分子间的碰撞和分子与孔壁间的碰撞同等重要时称为过渡扩散。

煤层瓦斯在浓度梯度作用下视扩散通量为：

3模型验证

3.1  连续流、滑流、自由分子流的验证

利用式(5)、式(8)以及式(21)来分析瓦斯压力为0.1 MPa．温度为300 K，a取0.8条件下本文模型、Klinkenberg模型以及扩散模型的视渗透率和达西渗透率比值(K。)随Kn,变化规律。根据计算结果，K，的值随Kn,的增大而迅速增大，可将K。和Kn的变化关系划分为4个基本阶段（图2）：①当Kn,<0.01时，瓦斯流动过程中粘性流占主导地位，使用本文模型、Klinkenberg方程计算所得K。很接近于1，表明瓦斯在煤层中流动属于连续流满足达西定律。②当0. 01<Kn,<0.1时，瓦斯流动属于滑流，本文模型与Klinkenberg方程计算所得的K。值大小相当，表明瓦斯在煤层中流动满足带滑移边界条件的达西定律。③当0.1< Kn,< 10时，瓦斯在煤层中流动属于过渡流，瓦斯气体流动连续性的假设不再成立，煤层瓦斯流动过程中粘性流动项和扩散项都占有较大比重，两者需同时考虑。④当Kn,> 10时，瓦斯流动过程中扩散占主导地位，本文模型计算结果与自由分子流模型结果吻合，煤层瓦斯流动满足扩散定律。

本文模型在连续流、滑流以及自由分子流范围内分别与Darcy方程、Klinkenberg方程、努森扩散方程计算结果吻合。瓦斯气体在煤层孔隙、裂隙中流动过程中浓度扩散和粘性流同时存在，孔径不同二者所占比例不同。在孔径很大的情况下浓度扩散所占比重非常小，粘性流起主导作用，瓦斯流动符合渗流方程；孔径非常小时，浓度扩散起主导作用，瓦斯流动符合扩散方程。煤岩中孔隙以孔径为1um至10 nm的小孔和微孔为主，由图3可知，在小孔、微孔中瓦斯流动为滑流和过渡流，应同时考虑扩散和渗流，能否准确描述过渡流领域流动判断是瓦斯流动方程好坏的重要标准之一。

3.2  过渡流的验证

 Roy等进行了氩气通过孔隙薄膜的实验，所使用的材料为工业阳极氧化铝微滤膜，薄膜孔隙直径约为200 nm，厚60 ym。出口压力控制为4.8 kPa保持不变，入口压力变化范围为9.8~ 110 kPa，则入口Kn数变化范围为0.7~7.6，所以实验中气体流动属于过渡流。利用Roy等实验结果对模型在过渡流领域的应用进行验证。

使用式(19)计算出各压力梯度下孔内气体质量通量理论值，具体计算参数见表1。对比结果显示，理论结果与实验结果的平均误差3. 2%，相关性系数为0.999 4（图3），可见本文提出的考虑不同扩散机制的瓦斯气体流动模型是合理的、准确的。

4  结束语

 本文基于分子运动学所提出的煤层瓦斯流动方程能够准确反映包括达西流、滑流、自由分子流、过渡流在内的气体流动规律，表明本文方程能准确描述不同机制控制下的煤层瓦斯流动行为，研究成果可为研究煤层瓦斯流动提供理论支撑，为提高煤层瓦斯抽采率和煤层气的产量预测准确度提供新方法和新途径。