带权重函数估计的移动最小二乘法及其在弹道处理中的应用

 王  鹏 ，  温永强 ，  

韩  云 

 （1．中国航空工业集团公司洛阳电光设备研究所，河南洛阳471000；2．中国人民解放军驻六一三所军事代表室，河南洛阳471000）

摘要：针对移动最小二乘法中的杈重函数影响域提出一种基于De Giorgi迭代技术的估计方法。新方法可有效估计权重函数在局部邻域中的影响半径，从而构造权重函数的具体形式。采用此算法对某航空炸弹的弹道进行处理，通过实验表明，在移动最小二乘法中使用新方法构造的权重函数获得的弹道模型能满足工程精度要求，并且提高了拟合曲线的光滑性。

0  引言

 传统最小二乘法，即通过使误差的平方和最小，得到一个线性方程组，求解线性方程组就可以得到拟合曲线。传统最小二乘法在拟合过程中，其多项式的阶次需要试算，且当数据量较大、形状复杂时往往需要进行分段拟合，从而限制了其通用性。移动最小二乘法是20世纪80年代发展起来的一种基于点的拟合方法，移动最小二乘法能很好地解决传统二乘法需要分段的缺点，其主要优点有：1）由于紧支集概念的引入，将原有分段拟合的方式改变为紧支集的邻域计算，从而不需要进行分段拟合；2）精度高，能拟合数据剧烈变化的情况；3）选取合适的权重函数，可得到足够光滑的曲线。

 由移动最小二乘法原理，其权函数的构造直接影响移动最小二乘法的精度及稳定性。为了获得性质优良的权函数，本文针对移动最小二乘法中权重函数的最大值提出一种基于De Giorgi迭代技术的估计方法，从而依据权函数性质及最大值估计构造权函数的具体形式。

1  移动最小二乘法

本节简要介绍移动最小二乘法的基本计算原理。对于每个观察数据Z∈D，需要获得系数ai（z），i=1，2，…，n，使得

 记ak表示向量a的k分量，上述方程可写为矩阵形式：BW(z)Ba=BW(2)f。其中：B是一个n×N矩阵，其j行为b=( b(j)(z1)，b(j)(z2)，…，6(j)(zn))；f=(f (z1),f(z2)，…，f(zn)）T。

 由以上定义可知：如果W(z)不是一个常值矩阵，那么对于每个z∈D，都能获得一个新的a（z）；如果Gf是由移动最小二乘法产生的一个f的逼近，那么函数的定义域将转为整个D；如果W(z)是一个常值矩阵，那么移动最小二乘法将退化成为经典的最小二乘法。

2权重函数估计方法

根据式(5)、式(6)定义

即

由上式并结合引理1，则式中，ιi=wi（xi），为定义域上未归一化的权重函数观测点权值，假设其依据平均分配定义域测度，本文考虑每个观察点的权值相等，可根据观察数据点个数n设置为∣D∣/n，有

式中：△R为△min；△L为△i。由定义1可知，权重函数的影响半径为d．。

由引理l及权函数的性质构造权函数w，(t)，有

式中，ri= ∣x -xi∣/di，同时，权重函数正态性，即

可计算θ值。结合式(16)，通过计算可以验证式(15)权重函数满足上文中权重函数条件1）～5）。利用本文获得的局部近似的方法：移动最小二乘法来实现非线性系统的函数拟合。移动最小二乘法作为一种近似估计算法，其基本原理是：首先对全特性曲线在整个求解区域内分区，即求得紧支集影响半径，然后在不同的区域上用最小二乘拟合，即采用分区局部拟合。

3  弹道拟合及方法验证

 以某模型炸弹的飞行数据为例，通过对比传统最小二乘法与新方法拟合数据的情况验证新方法的精度及有效性。原始数据为某炸弹飞行时的高度、时间。移动最小二乘法、传统最小二乘法多项基底采用的形式同为

移动最小二乘法权重函数使用式(15)，权重函数紧支集影响半径di由式(14)给出。由上述方法，各观测点权重函数如下：

 传统最小二乘法拟合数据与原始数据比较如图1所示。

 移动最小二乘法拟合数据与原始数据比较如图2所示。

 传统最小二乘法拟合数据误差如图3、图4所示。由图3、图4可知，基于本文权函数的移动最小二乘法得到的拟合曲线的误差相对传统最小二乘法的误差更小，前者拟合精度显著高于后者。

4结论

 本文提出了移动最小二乘法权函数最大值的估计方法，以此为依据构造了权函数的具体形式，并针对某航空制导炸弹弹道进行了处理。基于新方法获得的权函数使得移动最小二乘法具有许多优点：1）精度较高，能够捕捉到数据的剧烈变化；2）基于新的权重函数，可以得到足够光滑的拟合曲线。移动最小二乘法作为一种函数拟合的重要方法，随着对其权函数研究的不断深入，其处理精度及光滑度将不断提高。