浅谈桩土共同作用的周期性高架桥结构的能带计算模型

论文导读:：能带特性是周期性结构的特有属性。和文献中的声子晶体结构相比。利用传递矩阵方法可得周期性桥墩的阻抗矩阵。由于周期性高架桥结构的跨度较大。可近似看成由桩基础。
论文关键词：能带，声子晶体结构，传递矩阵方法，周期性高架桥结构，桩基础

　　1 引言
　　随着我国经济的快速发展，高速铁路逐渐得到普及。由于高架路基能很好地解决路基沉降问题，所以，目前高速铁路的很多路段均采用高架路基。高架铁路的很多路段，可近似看成由桩基础，桥墩及横梁所构成的周期性结构。由于地震可对高架桥结构造成很大的破坏[1]，因此，对此类周期性结构合理的抗震设计具有重要的工程实际意义。由于周期性高架桥结构的跨度较大，因此，常规的设计方法是切出其主要部分，然后运用反映谱方法或时域分析方法[2]对其进行动力分析。但上述方法只能分析高架桥结构的振动解，而不能给出关于波动解的任何信息，例如，高架桥结构的波模式，波速及波阻尼等。
　　能带特性是周期性结构的特有属性。对周期性结构，其存在禁带和通带，对频率位于通带内的格波，其可在结构中传播，但对频率位于禁带内的格波，则不能传播。目前交通论文，文献中一般把周期性结构统称为声子晶体或声子晶体结构[3]。根据上述能带特性，周期性高架桥结构的合理设计应使得场地的卓越频率处于高架桥结构能带的通带中，否则，具有卓越频率的格波会在高架桥结构中局域化，造成结构的破坏。因此，周期性高架桥结构能带的研究，对其抗震设计具有重要意义；此外，周期性高架桥结构的能带，还可用于格波相速度和群速度的计算。
　　和文献中的声子晶体结构相比，周期性高架桥结构的显著特点是其和半空间土体的耦合，这使其可向半空间土体辐射能量。因此，周期性高架桥结构可定义为一类新型的声子晶体结构，即“开放”型声子晶体结构，这不同于以往的“封闭”型声子晶体结构－即限制格波能量于结构内的声子晶体结构。时至今日，已对通常的“封闭”型声子晶体结构进行了广泛的研究，已经发展了多种方法来计算其能带，例如：传递矩阵方法[4], 平面波方法[3], 多重散射方法[5], 有限差分方法[6]及变分方法[7]等。对梁类声子晶体结构，目前也开展了很多研究[8-10]，文[11]对梁类周期性结构中波传播的研究进行了广泛的综述论文提纲怎么写。值得指出的是，虽然目前对“封闭”型声子晶体结构进行了广泛的研究，但对本文的“开放”型周期性高架桥结构，由于桩基础和半空间土体耦合，因此，上述方法不能有效地应用。
　　在本文中我们将建立“开放”型周期性高架桥结构的能带计算模型。为建立该模型，首先利用积分方程方法对桩土共同作用问题进行计算，并得出周期性桩基础的柔度矩阵。根据桩基础的柔度矩阵，利用传递矩阵方法可得周期性桥墩的阻抗矩阵。利用所得桥墩的阻抗矩阵，根据Bloch定理[12]及传递矩阵方法[13]，可得此结构能带计算的非线性多项式特征值方程。基于所得的非线性特征值方程，得出高架桥结构的近似线性特征值方程。数值结果表明，在本文的高架桥结构中存在三种格波。对大多数频率，第一和第二种格波是高衰减波，因此，其只在高架桥结构中传播有限距离；第三种格波除在一个低频区域内有衰减外，在其它频率范围均可传播。
　　2 桩基础的柔度矩阵及桥墩的阻抗矩阵
　　2.1 周期性高架桥结构的力学模型
　　本文中的周期性高架桥结构由周期性桩基础，桥墩及横梁组成(图1)。实际上，每个桥墩往往通过群桩来支撑，但由于本文的目的是建立此类结构能带计算的理论模型，而非设计具体的高架桥结构，因此，为简便计交通论文，假设每个桥墩只由一个桩基础支撑，每根横梁端部只由一根桥墩支撑。所以，这里的周期性高架桥结构的每个组成单元包含一个桩基础，一个桥墩及一段横梁(图1)。假设桩基础和桥墩、桥墩和横梁及横梁间的联结均为刚性联结，因此，本文的周期性高架桥结构可近似成一个平面刚架结构。理论上，周期性高架桥结构包括无穷多个组成单元，但由于其能带可由传递矩阵方法通过分析其一个代表性单元来确定，因此，能带模型中可只考虑邻近代表性单元的单元影响。假设代表性单元为零号单元 (图1), 且只考虑从号到号单元的影响，所以，模型所涉及的单元总数为。此外，在本文的模型中，假设高架桥结构只发生面内振动，因此，这里的桩、桥墩及横梁将产生轴向振动及面内弯曲振动。此外，在本文中，我们假设桩截面为圆形，桥墩截面形状任意，而梁截面则为矩形。
　　2.2 周期性桩基础的柔度矩阵及桥墩阻抗矩阵的确定
　　为建立周期性高架桥结构的能带计算模型，必须首先确定周期性桩基础的柔度矩阵及桥墩的阻抗矩阵。由于本文中桩基础截面形状为圆形，因此可采用Muki的虚拟桩方法来求解桩土共同作用问题[14, 15]。面内振动的桩基础会产生轴向和面内弯曲振动，因此，虚拟桩法中必须考虑桩基础的轴向和横向振动[16]。限于篇幅，这里不再列出桩基础积分方程解法(虚拟桩法)的求解步骤[16]。利用虚拟桩法得出桩基础的柔度矩阵后，桥墩的阻抗矩阵可利用桥墩的传递矩阵来确定。
　　假设桩、桥墩及横梁的轴向位移和横向位移均由和表示，这样承受轴向和面内弯曲变形的第i根桩的桩顶位移及桩顶力可表示为
　　, , (1)
　　这里，,为第i根桩桩顶的轴向位移，横向位移及转角，,则为桩顶的轴力，剪力及弯矩。如上所述，由于能带模型中只考虑()根桩的影响，因此，由虚拟桩法所确定的根桩的柔度矩阵满足如下关系
　　 　　 (2)
　　这里的矩阵表示第i根桩和第 j根桩的耦合作用，如, 则表示第i根桩的单位桩顶力所引起其自身的桩顶位移。
　　由于在本文中，承受轴向振动和面内弯曲振动的桥墩也作为柱和梁来处理，因此，其传递矩阵可由通常的柱体及梁的振动理论来推导[17]。设桥墩的状态向量为
　　, , (3)
　　其中是第i个桥墩的轴向位移，横向位移及转角, 为其轴向力，剪力及弯矩。设桥墩的传递矩阵为，则对第i个桥墩有
　　, (4)
　　这里和分别是第i个桥墩的顶部和底部的状态向量交通论文，, 是桥墩传递矩阵的子矩阵。
　　如上所述，假设一个桥墩由一个桩基础支撑，且桩基础和桥墩间采用刚性联结，因此，对第i根桥墩和第i个桩基础有如下关系
　　, (5)
　　利用公式(2), (4) 及 (5), 桥墩顶部的位移向量可表示为
　　
　　 (6a)
　　这里
　　 (6b)
　　类似地，桥墩顶部的力向量可表示为
　　 (7)
　　利用上述方程，得如下桥墩顶部的位移向量和力向量间的关系
　　 (8)
　　这里即为桥墩的阻抗矩阵。上述关系可进一步写成如下的指标形式
　　, (9)
　　其中，是阻抗矩阵的的子矩阵，表示第 i个桥墩和第j个桥墩间的耦合作用。
　　3 周期性高架桥结构的非线性特征值方程及其线性近似
　　如上所述，对面内振动的周期性高架桥结构，横梁的运动同样也包括轴向振动和面内弯曲振动。如图1所示，由于第 j根梁的右端和(j+1)根梁的左端及第j个桥墩的顶部刚性联结，因此有如下的联结条件
　　, , (10)
　　这里是第(j+1)根及第j根梁的左端及右端的位移向量。此外，根据第 j个接头处的平衡条件，可得如下方程
　　, , (11)
　　这里，是第(j+1)根及第j根梁的左端及右端的力向量论文提纲怎么写。根据横梁轴向振动及面内弯曲振动的控制方程[17]，可类似地推导其传递矩阵，因此有
　　 (12)
　　其中是横梁的的传递矩阵, 是第j根横梁的左端和右端的状态向量，是单元内横梁长度。利用公式(10)和(11)，并令 j号单元为中心单元(), 则一号单元横梁左端的状态向量可表示为
　　 (13)
　　把由式(9)所确定的表达式代入(13)得
　　 (14)
　　根据Bloch定理[12], 有, 这样上述方程可写为
　　 (15a)
　　其中
　　 , (15b)
　　上式中为格波波数，此外，上式中的不包括项。在方程 (12)中令并代入(15a)，并对(15a)左端应用Bloch定理[12]，得如下高架桥结构多项式形式的特征值方程
　　 (16a)
　　上式中为多项式特征值方程的系数矩阵，且
　　, ,
　　, (16b)
　　 　　值得指出的是，如果相邻桩基础间距足够大，则桩基础间的耦合作用可忽略，此时，非线性特征值方程可简化为如下的线性特征值方程
　　, , (17)
　　4 数值结果
　　基于方程(17)，本部分将给出关于周期性高架桥结构能带的一个算例。在此算例中我们将考察梁和桥墩的弹性模量比()对其能带的影响。计算中，桥墩的截面也取为圆形。半空间土体、桩、桥墩及横梁的参数取值如下：半空间土体的剪切模量和泊松比 (,)为Pa, 0.3；桩的杨氏模量及泊松比(,)为Pa, 0.3；桥墩的杨氏模量及泊松比 (,)为Pa, 0.3；桩长及桩半径 (,)为20m, 0.5m；桥墩的高度及半径为(, )为7.5m, 0.3 m；单元内横梁长度，横梁矩形截面尺寸 (,)为10.0m, 2.0m, 0.3m；半空间土体、桩、桥墩及横梁的密度()为kg/m3,kg/m3,kg/m3,kg/m3；梁的泊松比为0.3，其弹性模量的取值使分别为。此外，能带中频率的计算范围为Hz。
　　图2-4给出了面内振动的周期性高架桥结构三种格波的能带。图2和图3表明，第一种和第二种格波的阻尼均比较大，因此，其在高架桥结构中均不能传播较远距离。图4显示第三种格波的虚部较小，因此，其能在高架桥结构中传播；但在一低频区域内，其格波波数的虚部取值较大，且实部为零交通论文，所以，在此低频区域内格波也不传播；此外，对第三种格波，其频率(实部)-波数曲线接近直线，因此，其相速度和群速度近似相等，且格波速度随横梁的刚度增加而增加，而阻尼则随横梁的刚度增加而明显减小。
　　5 结论
　　在本文中我们建立了周期性高架桥结构能带计算的数值模型，把高架桥结构的能带计算化归到一个非线性多项式特征值方程。本文的研究有两重意义：首先，本文的研究为高架桥结构的抗震设计提供了一种新思路；其次，本文引入了一种新型的声子晶体结构，即“开放”型声子晶体结构，因此，本文的研究对拓展声子晶体结构的研究范围具有重要意义。本文的数值结果表明，面内振动的周期性高架桥结构中，存在三种格波。第一和第二种格波为衰减波，因此，其只在高架桥结构中传播有限距离。第三种格波除一低频区域外，能在高架桥结构中传播。此外，由于在一低频区域内三种格波均不传播，因此，如何设计高架桥结构使其场地的卓越频率不在此低频区域内，是高架桥结构设计的重要任务。
　　致谢
　　本文的研究得到国家自然科学基金的资助(批准号：51078171)，此外，本研究得到江苏大学优秀青年学术骨干培养对象基金及江苏省青蓝工程中青年学术带头人培养基金的资助。

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