王骑虎
（1．北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京100022；
2．甘肃省交通规划勘察设计院有限责任公司，甘肃兰州730030）
摘要：破坏准则是把基于指定应力路径或试验条件下得到土的强度特性推广至一般应力条件，其是否具有广泛适用性值得探讨。基于数值分析，探讨了多种屈服准则反映一般情况下土体强度特性的能力，并依据反映中主应力影响的特性对屈服准则进行了分类。分析表明．广义Mises准则、形变能破坏准则和Bishop准则均不能合理地反映中主应力的放大效应和区间效应，而SMP准则和Lade-Duncan单参数破坏准则可有效地反映这种影响，故建议有限元软件中采用后者进行土工数值分析。
关键词：破坏准则；中主应力；内摩擦角；广义Mises准则；SMP准则；Lade-Duncan准则
中图分类号：TU432 文献标识码：A 文章编号：1004-4051(2015)12-0142-05
由于试验仪器或认识水平的限制，人们往往利用常规三轴仪器通过指定的应力路径（2≠3）考察土的强度特性。并通过数学模型，把这种特定条件下得到的试验结果推广到一般情况。这种数学模型可称为本构模型或者屈服与破坏准则。
依据特定试验条件下得到的破坏准则，其能否正确反映一般情况下土体的变形与强度特性，是值得探讨的问题。一般地，可以通过中主应力变化来考察一般应力状态（1≠2 ≠3）与三轴压缩状态（1≠2 =3）间土体强度的相互关系。方开泽根据多种破坏准则，通过分析考察了在考虑中主应力系数影响时的内摩擦角与三轴压缩试验所得内摩擦角之间的转换关系。但事实上，简单地建立考虑中主应力系数影响时的内摩擦角与三轴压缩试验所得内摩擦角之间的转换公式有时候可能带来不合理的结果（后文将举例叙述）。因此，有必要通过数学手段来探讨考虑中主应力系数影响时屈服准则的基本函数特性。
本文基于函数求极值的数学手段，分析探讨了多种屈服准则反映中主应力影响的能力。并依据反映中主应力影响的特性对屈服准则进行分类（见一级标题），为屈服准则的实际应用提供了理论指导。
符号约定：表示三轴压缩条件下（1≠2 =3）的内摩擦角，b表示考虑中主应力系数影响时(1≠2 ≠3)的内摩擦角，b为中主应力系数，b=（2 -3）／（1-3）。1、2 、3分别为大主应力、中主应力、小主应力。
1 第一类：（b ）max≥0（b ）min≤o，且仅在内摩擦角部分范围上成立
广义Mises准则（也称Drucker-Prager准则）属于此类特性的屈服准则，该准则可表示为式(1)。
式中：I1、J2分别为应力张量第一不变量和应力偏量第二不变量；a、k是是与岩土材料内摩擦角和黏聚力c有关的常数。该准则考虑了中主应力2对屈服和破坏的影响，且屈服面在偏平面上为圆形，这有利于塑性应变增量方向的确定和软件编程计算，因而得到了广泛的应用，并编入了大型商业软件ANSYS、ABAQUS、NASTRAN和MARC等。
根据偏平面上广义Mises准则与Mohr- Coulomb准则的位置关系可以确定参数a和k的表达式。徐干成等偏平面上广义Mises准则与Mohr-Coulomb准则所围面积相等的原理提出了一种参数表达式，计算表明利用该表达式得到的塑性区与Mohr-Coulomb准则的结果相当。表1列出了参数a和k的常用表达式。可见，对于无黏性土c=0时有k=0．
基于广义Mises准则针，对无黏性土可得到考虑中主应力影响下的内摩擦角b 与中主应力系数b的相互关系，见式(2)。
式中：a1=3 a。但选择表1中参数a的表达式和一定的中主应力系数6值时，可得到一些不合理的结果（sin(b >1)，如表2所示。
由此可知，有必要从广义Mises准则的函数性质人手，探讨中主应力系数对强度参数的影响。定义大、小主应力之比t=1/3，ttc为三轴压缩条件下(2=3)的大、小主应力比。针对无黏性土（k=0），式(1)可变形为式(3)。
对于一定的大、小主应力之比f和参数n值，式(3)表达的函数ƒ(b，t)随中主应力系数6的取值变化而变化，其极值满足如式(4)所示关系。
式(3)代入式(4)，可得式(5)。
分析式(5)知，当a=0（对应0=0o）有b1=b2=0.5；当O<α≤0.288时，方程在(0，0.5)和(0.5，1)上取得两实数解，且当α=0. 288时，方程的解为b1=0，b2 =1;当a>0. 288时，方程(5)无解。
当α<0. 288时，由式(5)得到ƒ(b，t)取极值时的中主应力系数，表达式见式(6)、式(7)。根据式(3)，可得相应的大、小主应力比t的表达式(式(8)、式(9))。
可以证明在α<0. 288条件下有关系tl >t2>ttc且大、小主应力比t的最大值为t1其值由式(7a)确定、最小值为b=0时由式(3)确定的ttc进而可以得到考虑中主应力系数6的影响时的内摩擦角b的最值表达式(式(10)、式(11))。
同理可以分析α≥0. 288时内摩擦角b的最值表达式，不再详述。选择参数a的表达式，利用式(10)、式(11)便可以得到考虑中主应力系数6的影响时的内摩擦角b与三轴压缩试验所得内摩擦角0之间的相互关系。图1～4描绘了不同参数表达式所得的b与0的关系。
由图1～4知，采用DP1类型的参数不能反映0≥36.9。时的(b)max，采用DP4类型的参数不能反映0≥52.7o时的（b）max，从而利用式(2)，便得出如表2所示的不合理情况；并且采用DP1和DP4类型的参数得到的（b）max明显偏大。采用DP2～DP4类型的参数均有（b）minx≤0这不符合已有的结论：中主应力系数对强度指标的影响既有放大效应又有区间效应。大量试验表明，考虑中主应力对土的抗剪强度的影响时，土的内摩擦角通常增
加2～90。
2第二类：b≥b=0-=b=1 =0，且仅在内摩擦角部分范围上成立
第二类属于该类型的破坏准则有方开泽的形变能破坏准则和Bishop准则等。
方开泽根据形变能原理提出了形变能破坏准则，利用该准则得到的b与0的关系，见式(12)。
根据函数关系分析知，b≥b=0=b=1=0且当b=0.5时b取得最大值sin(b)ma=1.1547sin0，利用形变能破坏准则得到的b与0的关系见图5。
由图5知，形变能破坏准则在考虑中主应力系数影响时得到的b偏大，且不能反映0≥60。时的（b）max。如取0=65。，由式(12)得到sin（b）max=1. 0465的不合理结果。
Bishop根据三轴压缩与三轴拉伸试验结果相同，而平面应变试验结果不同的概念，提出了一个修正的Mohr-Coulomb准则，其表达式见式(13)。
式中：S为由平面应变试验确定的参数。由分析知，依据Bishop准则可得b≥b=0=b =1=0，且在b=o．5时b取得最大值。按文算例取S=2一时，得到的(b)max与形变能准则相同，故该准则也只能反映内摩擦角部分范围上的（b）max。
3 第三类：b≥b=1 b=0 =0，且内摩擦角在(0o ,90o)范围上均成立
日本松同元等基于空间准滑动面( SMP:Spatial Mobilization Plane)概念所提出的SMP准
则，属于此类型。该准则认为当空间滑动面上剪应力smp与正应力smp之比达到某一数值时土体发生剪切破坏，其表达式可写为式(14)。
当b=0或b=l时，式(14)变形为式(15)。
研究表明，在平面应变条件下基于SMP准则得到的土的强度参数达到最大，并且如式(16)所示关系成立。
把式(16)代入式(14)得到平面应变下的玻坏条件，见式(17)。
而在三轴压缩条件下，根据Mohr-Coulomb准则，得式(18)。
由式(18)可以得到大、小主应力比t与内摩擦角b的关系，见式(19)。
式(15)、式(17)和式(18)表示不同情况下的剪正应力比，图6反映了它们与大、小主应力之比t的变化关系。
一般认为，当土体所受的剪正应力比达到临界剪正应力比时，其将要发生破坏。根据图6可知，当土体的临界剪正应力比一定时（如图中RA点），由SMP准则得到的大、小主应力之比t要比MohrCoulomb准则的结果大（图中ta。、tb，比tc大）。又由式(19)可知，大、小主应力之比t的增大会导致内摩擦角b的增大。根据图6中的相互关系可以得到b与0的关系，如图7所示。
由图7可知，根据SMP准则得到的内摩擦角b比三轴压缩试验所得的内摩擦角0大0.3～6.9。，这与已有的结论是一致的。并且该准则可以反映中主应力在内摩擦角的变化范围(0o，90o)上的影响，不存在诸如广义Mises准则的区间有效性。该准则是针对无黏性土提出的，经修正后也可以用于黏性土。鉴于SMP准则能合理的把特定试验条件下的结果推广至一般情况及其在偏平面上的轨迹不存在失点，建议有限元软件中编人该准则以便进行土工计算。
4 第四类：b≥b=1≥b=0=0且内摩擦角在(0o．90o)范围上均成立
该类准则既能考虑中主应力对土的抗剪强度的影响，又能反映三轴拉伸强度指标大于三轴压缩强度指标。Lade-Duncan单参数破坏准则属于该类型，其表达式见式(20)。
式中：I1、I3分别为第一应力不变量和第三应力不变量；k1是与土性有关的参数，一般由三轴压缩试验测得。利用大、小主应力比t和中主应力系数b，可把式(20)变形为式(21)。
根据式(21)及式(19)可知，三轴压缩条件下(b=0)测得参数k，的表达式，见式(22)。
当大、小主应力比t-定时，函数ƒ(b，t)随中主应力系数6的变化而变化，其极值满足条件式(4)。把式(21)代入式(4)，可得b—0.5。经分析知，函数ƒ(b，t)在6 -0.5处对应的大、小主应力之比t取得最大值。b=0.5时，式(21)变为式(23)。
把式(22)代入式(23)，求得tmax后，再把tmax值代入式(19)即可得到利用Lade-Duncan破坏准则在考虑中主应力影响条件下的（b）max。同理可得b =1和b =0，并有关系式(b)max≥b=1≥b=0=0成立。最后可得b与0的关系，如图8所示。
由图8可知，基于Lade-Duncan单参数破坏准则，得到考虑中主应力影响下的强度参数内摩擦角b比三轴压缩试验得到的内摩擦角0大0. 83～12.2o，这与已有的试验结论基本一致。该准则也可以反映中主应力在内摩擦角的变化范围(Oo，90o)上的影响，不存在诸如广义Mises准则的区间有效性，因此在数值分析中可以采用该准则进行土工计算。
3结 论
1)广义Mises准则反映中主应力影响的能力较差。由该准则得到的（b）max较0明显偏大，且只能反映部分内摩擦角范围上（b）max；基于该准则还可得到（b）min≤0，不能体现出中主应力的放大效应和区间效应。
2)形变能破坏准则及Bishop准则可以反映中主应力的放大效应和区间效应，但仅只对部分的内摩擦角有效，且放大效应过大。
3) SMP准则和Lade-Duncan单参数破坏准则基本上可以合理地反映内摩擦角在(Oo，90o)范围上变化时中主应力对强度参数的放大效应和区间效应。建议有限元软件中采用此类破坏准则进行土工问题数值分析和计算。 _
