作者：张毅
对于刚性机械臂来说，它产生的振动很小（可以忽略不计），因此我们只要通过对驱动系统的控制就可以很方便地精确定位。但柔性机械臂与刚性机械臂不同，它由于臂杆和关节柔性特性的影响，在进行刚性运动时会不可避免地伴随着自身的振动，从而导致很难完成准确的定位，严重影响了柔性机械臂的设计和使用，大大加大了柔性机械臂建模和控制的难度。因此，需要对柔性机械臂的动力学模型展开更深入的研究，希望可以从动力学层面考虑以避免或者减少由于其自身的振动带来的一系列问题。
在柔性机械臂动力学领域已经有了一些研究成果，1990年Park和Imam应用有限元法对柔性系统进行研究，后来Turic和Midha对有限元法进行了改进，提出了柔性系统动力学分析的广义运动方程。1996年Bellzee提出了柔性旋转梁分别在固定和铰支的边界条件下的数学模型。1999年，Tokhi等人提出了非最小相系统，建立了数学模型，指出柔性机械臂系统在S平面右半平面上存在多个零点。本文通过有限元法(FEM)和Lagrange方程相结合的方法建立了柔性机械臂的动力学模型，然后通过MATLAB对
数学符号进行处理，描述柔性机械臂单臂系统的动态特性。
1 建模方法
因为柔性机械臂臂杆的截面相对于其长度来说很小，因此，我们将柔性杆看做梁结构，忽略轴向变形和剪切变形的影响，仅考虑弯曲变形。那么一个柔性机械臂系统就是具有无限个自由度的连续组合，如果再加上柔性关节和柔性臂杆变形的耦合，整个系统的运动控制方程就是多个高度非线性的偏微分方程，这些问题显然都不易求解且容易出错。所以我们将整个无限个自由度的系统转换成有限个自由度系统，这就是我们常说的有限元法( FEM)。如果将柔性机械臂臂杆看做梁结构，那么柔性机械臂系统的动力学问题就可以转换成梁结构的挠度和刚性运动的组合问题。梁的挠度是由多个形函数组成的广义坐标的组合，它的动力学方程可以通过计算广义质量、广义刚度、广义力和广义力矩来求得。形函数与有限单元法相关，单元形状越复杂，阶次越高。有限元法( FEM)的实质是把无限多个自由度的连续体离散为有限个自由度的单元体，这样我们可以用数值方法进行数值求解，采用弹性单元、刚性节点、载荷节点来描述系统模型的质量、刚度、摩擦、载荷等非线性参数，如此就需要比较多的自由度来描述整个系统，这样求解运算量比较大，因此我们在这里借助计算机软件MATLAB，将系统的质量、刚度和载荷矩阵的符号或者数值形式用程序编制一个新函数，从而推导出系统的动力学方程。为了建立柔性机械臂系统模型，在MATLAB函数中要用到两种不同的梁模型：固定一自由梁模型和简支一自由梁模型，如图1所示，两者有不同的边界条件，所得形函数也不同。其中，口，为梁中心的倾角，v2为梁末端的挠度，02为梁末端的倾角，F2为梁末端所受力，M2为梁末端所受弯矩。
如果我们将简支自由梁模型当做有限单元，那么就会有3个相互独立的广义坐标：梁中心的倾角岛、梁末端的挠度V2和梁末端的倾角02，那么在某一位置x（x为梁简支端到所求点的距离）时，梁的挠度与时间t的关系为：
其中：磊、<：和蛾为形函数。0、02和V2是关于时间f的函数，西，、西。和或是关于位置z的函数。
对于固定一自由梁模型来说，只有两个相互独立的广义坐标：梁末端的挠度V2和末端的倾角口。。那么在某一位置z梁的挠度和时间t的关系为：
在这些函数中，我们可以知道广义质量Mr、广义刚度系数Kr和上广义力r，结合Lagrange方程得到柔性机械臂的动力学方程为：
其中：
，N为柔性关节的减速比；B，、为广义抗弯强度系数；Q为非保守主动力系所对应的广义力。式(3)这个方程的形式取决于边界条件的类型。
2数据处理
为了研究系统的参数和非最小相位性质之间的关系，首先我们应该求得有限元模型系统中各单元之间的传递函数，此外，我们还要考虑到系统的载荷、摩擦力等非线性参数对动力学方程和传递函数的影响。
如上所述，用有限元方法解决柔性机械臂动力学问题时，会产生n个元素的质量矩阵，可以将式(3)写成状态空间形式：
x为状态矢量，y为输出变量，u为输入变量，A为状态矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，解这个状态空间表达式(4)可以得到系统的传递函数，当然这些状态空间方程也取决于边界条件的类型（悬臂还是简支）和是否考虑载荷或阻尼的影响。所以在MATLAB程序中，我们需要建立一些新的函数来生成柔性机械臂的单臂杆运动方程和状态空间表达式，如表1所示。
3模型分析
为了研究柔性机械臂系统的非最小相位性质，我们需要求得系统的传递函数，这一过程与传递函数的计算和系统函数零点的位置有关，如果系统函数在S平面的右半边平面(RHP)上具有一个或多个零点，那么这个系统就是非最小相位系统。
根据系统动力学模型的状态空间符号形式(式(4))，我们可以得到系统的传递函数：
其中：s为拉普拉斯变量算子。将矩阵A、B和C代入式(5)，用有限元仿真简化系统的传递函数。通过MATI。AB函数 mass、stiffness、mode-shape来建立柔性机械臂单臂杆的动力学模型，这个运算过程如下：
通过MATLAB软件得到的柔性机械臂在固定一负载边界条件下的动力学模型符号形式如下：
通过MATLAB软件从系统动力学模型的矩阵形式得到的状态空间形式如下：
在MATLAB软件中得到的系统动力学模型的状态空间形式如下：
我们可以通过式(5)和A、B、C三个矩阵结合系统动力学方程的状态空间形式来推导出系统的传递函数，由于整个系统是一个SIMO（单输入多输出）系统，多个输出变量导致该传递函数比较复杂。式(6)是一个输入为弯矩、输出为末端倾角的传递函数：
其中：L为柔性杆长度；优为柔性杆质量；E为弹性模量；I为截面惯性矩；mP为载荷的质量，即能承载最大负荷的质量，决定了柔性杆的振动频率。
式(6)这个传递函数是为了研究柔性机械臂系统的非最小相位特性。我们需要先研究系统传递函数的分子和分母还有系统极点和零点的位置。如果该系统在S平面右半边平面(RHP)上存在不止一个零点，那么它就是一个非最小相系统。系统中两种不同变量的极点和零点布局图如图2所示，系统的极点和零点的位置会随着系统变量的改变而改变，这些系统变量包括单位长度质量、臂杆的长度和横截面载荷。
4结语
本文针对柔性机械臂系统，研究了柔性机械臂的自振动特性，给出了系统的不同形式的动力学模型，通过MATLAB对模型的分析，得到了系统的传递函数，从而验证了系统的非最小相位特性，为之后机械臂的在轨抓捕操作和控制理论研究提供了理论模型。
5摘要：针对柔性机械臂系统，通过有限元法(FEM)和Lagrange方程相结合的方法建立柔性机械臂的动力学模型，然后通过数学软件MATLAB对数学符号的处理，描述了柔性机械臂单臂系统的动态特性，考虑了载荷和摩擦等非线性因素的影响，为柔性机械臂的机械设计、控制设计等方面奠定了理论基础。
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