一种基于CTF系数法的混凝土空心砌块的动态传热计算方法

作者：张毅

  近年来混凝土空心砌块作为一种新型的建筑墙体材料，因其具有自重轻、隔热保温性能好的特点而被广泛使用。由于混凝土砌块内的空气层一般近似“静止状态”，这较大程度地增加了空心砌块的传热热阻，并可以进一步减少建筑的空调负荷。目前对混凝土空心砌块墙体传热的研究主要还停留在稳态计算的阶段，对其非稳态传热过程传热研究较少。准确地计算墙体传热量是计算建筑空调负荷的重要前提，更是空调设备选型的重要数据依据。采用稳态计算方法计算墙体的传热量，可能会造成设备选型过于保守，以至于造成系统初投资和能源的浪费。因此研究空心砌块的动态传热计算方法具有较大的意义。

  传递函数法是一种求解系统的输入与输出关系的方法，该方法避免了对系统内部状态的求解，可以简化求解过程。传递函数法在平板型墙体的动态传热研究中已有广泛地应用。对平板型墙体的传热微分方程进行拉氏变换并进一步推导就可以得到其传热传递函数，根据该传热传递函数可以求取平板型墙体传热的反应系数或者传导传递函数( CTF)系数，从而可以直接计算出平板型墙体的动态传热量。对于空心砌块墙体，由于其形状不规则，并且具有明显的多维传热特征，其传热传递函数很难通过理论推导的方式得到。

  本文将采用参数辨识的方法来获取空心砌块的传热传递函数，并进行空心砌块墙体的动态传热计算。通过建立空心砌块的频域有限元模型（作为理论模型）计算该结构的理论频域热特性，然后采用参数辨识的方法获取空心砌块传热的s一多项式传递函数。再根据辨识得到的s．多项式传递函数求取相应的CTF系数，最后直接计算出空心砌块的动态传热量。

1频域有限元模型

轻骨料混凝土空心砌块是以水泥和轻质集料为主要原料的轻质墙体材料，一般用于框架结构或建筑物保温隔热外墙。本文选取三排孔的轻骨料混凝土空心砌块作为研究对象，该种空心砌块结构组成及尺寸如图1所示。不考虑空心砌块内部空气层的对流作用，认为是纯导热，砌块内空气层的当量导热系数取自文献，空心砌块各部分材料的物性参数见表1。

描述空心砌块二维非稳态温度场（图1所示截面）的导热微分方程及边界条件（以第三类边界条件为例）分别如式(1)、式(2)。

式中：T为温度变量，℃；t为时间变量，s；p为密度，kg/m3；c为比热，J/kg．℃；k为导热系数，W/(m．℃);a为表面对流换热系数，W／lri2-℃；Tf为环境温度，℃。复杂的周期函数温度波可以利用傅立叶变换分解为级数形式，表达为不同频率的温度谐波，如式(3)所示。本文的空心砌块热力系统是线性时不变系统，满足均匀性和叠加性，对空心砌块频热

特性的分析可以针对单一频率温度谐波分别研究。温度变量可以进一步表示为复数形式，如式(4)所示，温度关于时间的导数如式(5)所示。最后导热微分方程变为式(6)的复数表达形式。

式中：T为平均温度，℃；T为时域的温度，℃；T为频域的温度（即复数形式），℃；T为温度谐波的幅值，℃；u和v分别为复数变量的实部和虚部；i为数,=_i-；9i为相角，rad；wi为频率，rad/s。

  空心砌块平面温度场有限单元法计算的基本方程可以采用Galerkin法从空心砌块的导热微分方程出发推导得出，如式(7)所示。

式中：i，j和m为任意单元的3个节点，矩阵[K]为温度的刚度矩阵；[Ⅳ]为非稳态变温矩阵（热容矩阵）；{P}为等式右端项组成的列向量。对式(11)进行求解就可以得到在任意频率w下各个节点的频域温度响应（即各点频率相同而振幅和相位不同的温度谐波）。

2  传热传递函数

2.1传热传递函数辨识

如果将室内外侧的温度作为已知的输入量，则室内外侧的热流为未知的输出量。认为空心砌块的导热系数、密度、比热均为常数，即把它看作线性时不变系统，空心砌块内外表面热流与内外表面温度的函数关系就可以用传递矩阵式(12)的形式表示。

式中：Gx(s)、Gz(s)为砌块墙体外表面和内表面吸热s传递函数；G，(s)、Gr(s)分别为砌块墙体由外到内和由内到外的横向传热s传递函数；T。。．(s)为室外空气综合温度；T/n(s)为室内空气温度；Q。。．(s)为砌块墙体外表面热流；Q；。(s)为砌块墙体内表面热流。空心砌块传热的传递函数G(s)可以用简单的多项式之比的形式表示，即s-多项式传递函数，如式(13)所示。将s=j代入式(13)中，就可以得到s-多项式传递函数的频域热特性。采用频域有限元模型可以直接计算得到空心砌块的内表面吸热理论频域热特性G，（jw）、外表面吸热理论频域热特性cz(jw)以及横向传热理论频域热特性G，（jw）。本文对s-多项式传递函数进行辨识的实质就是求得合适的s-多项式传递函数的系数使其频域热特性与理论频域热特性（即频域有限元模型计算的频域热特性）相一致。

式中：a。、p。为多项式传递函数的系数；r和m分别是分子和分母的阶次。本文对空心砌块多项式s-多项式传递函数的辨识过程可以描述为求解一个最优化问题：求得多项式系数Bo、B1、B2…B，，a1、a2…a，使得目标函数式(14)在给定频域范围内最小。本文采用最小二乘法求解此最优化问题，所选取的频域范围为10“~10 -3rad/s。

式中：w。表示第k个频率点；/M(．)表示取复数的虚部；RE(．)表示取复数的实部；Ⅳ表示所选取频率点的总数。

2.2  CTF系数及传热量计算

已知辨识得到的s多项式传递函数，进一步推导就可以得到空心砌块传热的CTF系数。根据线性系统的叠加性原理，对扰量进行分解并通过简单的线性叠加运算就可以得到空心砌块墙体内外表面的传热量，如式(15)和式(16)所示。具体的计算过程参考文献[5]。

4计算结果及分析

空心砌块内外表面的热流值实际上是分布不均匀的，图3所示为频域有限元模型和CFD模型计算的空心砌块在24 h为周期的单位热扰作用下外表面部分节点处的频域热流响应。以CFD模型为参考模型，频域有限元模型计算的空心砌块外表面不同节点处热流幅值的最大绝对误差为0. 014  W/(m2．K)，最大相对误差为0. 396%，频域有限元模型计算的空心砌块外表面各节点处热流相角的最大绝对误差为0. 088 rad，最大相对误差为1.605%。以上结果说明频域有限元模型计算得到的空心砌块外表面不同节点处的热流响应的幅值和相角与CFD模型的计算结果非常吻合。

  采用CTF系数及CFD模拟计算得到的空心砌块内外表面动态热流曲线很好吻合。CTF系数与CFD模型计算得到的各时刻砌块内表面热流平均相差1.4 W/m2，大部分时刻的相对误差均在10 %以下，只有在极少部分时刻，由于内表面热流本身很小，而造成相对误差较大。比如在3h时刻，CTF系数和CFD模型计算的内表面热流分别为1.48  W/m2与0. 70 W／rri2，绝对误差仅为0.78 W/m2，而相对误差达到111%，这一误差对砌块的动态传热计算模拟的影响很小。砌块内表面峰值热流相差2.2W／m2，相对误差为5.5%，通过砌块内表面的单位面积一天（一个周期）的传热量分别为123 4 kj/m2与1 233 kj／m2，相对误差为0.1%。CTF系数与CFD模型计算得到的空心砌块各时刻砌块外表面热流平均相差0.7 W／IT12，平均相对误差为6.7%，砌块外表面峰值热流相差0.5 W／rr12，相对误差为0.5%，通过砌块外表面单位面积一天的传热量分别为1 234 kj/m2和1 233 kj/m2，与通过砌块内表面单位面积一天的传热量相等，满足能量守恒。

  以上计算结果表明本文采用的CTF系数可以很准确地计算空心砌块的动态传热量。CFD模拟一般需要长达数小时（一般需要数个周期的模拟才能达到周期性稳定状态），而CTF系数法只需几分钟，因此采用CTF系数法计算空心砌块墙体的周期性动态传热更加快速、效率更高。

5  总结

通过建立混凝土空心砌块墙体的频域有限元模型计算得到了该结构的频域热特性，并采用参数辨识的方法辨识获取了空心砌块墙体的传热s-多项式函数。对辨识得到的多项式函数进一步推导得到了空心砌块墙体的CTF系数，并直接计算了空心砌块墙体在周期性内外温度热扰作用下的内外表面热流。同时也建立了空心砌块墙体的CFD模型作为参考模型以验证CTF系数法的准确性。结果表明，CTF系数法计算的空心砌块内外表面热流曲线与CFD模拟得到的内外表面热流曲线非常吻合，平均绝对误差分别为1.4 W/m2和0.7 W／m2，通过围壁内外表面单位面积一天（一个周期）的传热量的相对误差均为0. 1%。本文采用的CTF系数法可以可靠、准确地计算空心砌块墙体的动态传热量，相比于CFD等数值方法，计算时间更短、计算效率更高。该方法也适用于其它复杂墙体结构（比如建筑热桥等）的动态传热计算。

6[摘要]本文采用CTF系数法对混凝土空心砌块进行了动态传热计算。首先通过建立空心砌块的频域有限元模型来计算其理论频域热特性，并采用参数辨识的方法获取其传热s多项式函数。然后根据辨识得到的传热s多项式函数进一步求取空心砌块的CTF系数，最后直接计算出空心砌块的动态传热量。同时建立了空心砌块的CFD模型（作为参考模型），并对空心砌块进行了动态传热模拟计算。通过对比发现，CTF系数法计算的空心砌块的动态传热量与CFD模型的模拟结果非常吻合。本文采用的CTF系数法可以准确地计算空心砌块墙体的动态传热量，并且在计算时间和效率上优于CFD等数值方法。