累积量稀疏表示的扩展阵列的DOA估计方法

韩树楠，李东生，张浩

（电子工程学院，合肥230037）

摘要：针对现有稀疏重构DOA估计算法不能抑制噪声项、在高斯色噪声背景下不适用以及能够分辨的最大信源数小于阵元数的问题，首先利用阵列输出数据的四阶累积量矩阵构建稀疏表示模型，该模型抑制了噪声项，并通过产生虚拟阵元实现了阵列扩展；然后对累积量矩阵进行奇异值分解来化简模型，化简后的模型不仅减小了数据规模而且进一步抑制了噪声。在利用加权l，范数法对稀疏表示模型求解时，不需要选取平衡重构残差与解的稀疏性的正则化参数。理论分析与仿真实验表明所提算法在高斯白噪声以及色噪声背景下均适用，能够分辨的最大信源数大于阵元数且具有较高的角度分辨力。

关键词：信号处理；DOA估计；四阶累积量；稀疏重构；阵列扩展

0  引言

    当空域中仅在几个方向上存在信号源，即信源满足空域稀疏性时，可以利用稀疏重构的方法实现信源的波达方向( Direction of Arrival，DOA)估计。相比于阵列信号处理中传统的子空间方法，基于稀疏重构的DOA估计方法能够同时处理非相关及相关信号，且不会引起阵列孔径的损失；利用稀疏重构的方法可以实现更高的角度分辨力；在快拍数较少以及信噪比较低时有更高的估计精度。求解稀疏重构问题，通过最小化待求解矢量的1范数重构得到的解最为准确，但这是一个NP-hard问题，为此，许多学者提出最小化待求解矢量的1。(0 <p≤1)范数来近似求解。由于通过最小化解矢量的Z．范数得到的重构结果是全局最优解，因此在稀疏重构DOA估计算法中，以基于Z．范数的成果最多，其中有直接利用阵列输出数据稀疏表示的Z．-SVD算法，但该算法在求解稀疏表示模型时，需要选取平衡重构残差与解的稀疏性的正则化参数，目前对该参数的选取缺乏有效的理论方法。为此，有学者提出了利用阵列输出数据协方差矩阵稀疏表示的SPICE算法和SRACV算法，这两种算法无需选取正则化参数，但其计算复杂度都较大。此外，上述算法仅适用于高斯白噪声背景下，不适用于高斯色噪声背景下；能够分辨的信源数均小于阵元数。本文利用阵列输出数据的四阶累积量矩阵构造了稀疏表示模型，该模型在高斯白噪声以及色噪声背景下均能够抑制噪声项，利用l1范数法对模型求解不需要选取平衡重构残差与解的稀疏性的正则化参数。此外，四阶累积量矩阵的构造实现了阵列扩展，使得本文算法能够分辨的最大信源数大于实际阵元数。

1  基于四阶累积量的稀疏表示模型

1.1四阶累积量矩阵

假设阵元间距为半个波长，K个远场窄带信号入射到M(M>K)个阵元上，则阵列输出数据可以稀疏表示为

1.3模型化简

计算得到权值后，利用凸优化工具箱中的函数即可求解式(12)。

3  算法可分辨最大信源数与复杂度分析

如图1所示，本文算法在信噪比较低时，DOA估计误差与Z，-SVD算法相当，与Music-like算法相比，误差较小，说明了稀疏重构方法较子空间方法有更高的角度估计精度。随着信噪比的提高，本文算法的估计误差小于Z．-SVD算法，与SRACV及Music-Iike算法的估计误差几乎一致。

    实验2  设定噪声为高斯色噪声，比较本文算法与Music-like算法对非相关信号的角度估计均方根误差。实验中高斯色噪声为高斯白噪声通过传递函数为的滤波器的输出，其他实验条件同实验1。

如图2所示，高斯色噪声背景下，信噪比较低时，本文算法的角度估计误差明显小于Music-Iike算法，随着信噪比的提高，两种算法的估计误差均为零。

    实验3分析在低信噪比条件下，采样快拍数对本文算法的角度估计均方根误差的影响。实验中信噪比为-8 dB，采样快拍数由200逐渐增加到1000，每次增加100快拍，其他实验条件同实验1，每个快拍数下进行100次实验，得到角度均方根误差随快拍数变化的曲线。

如图3所示，随着快拍数的增大，DOA估计误差在逐渐减小，这是因为在计算信号的四阶累积量时，通常利用信号的时间均值来代替统计均值，那么低信噪比条件下，随着快拍数的增大，计算得到的高斯噪声的四阶累积量逐渐趋于零，加强了对噪声的抑制作用，由此减小了DOA估计误差。

实验4分析本文算法的角度分辨力。实验中阵元数为4个，非相关信源数为5个，信源数大于阵元数，入射角度分别为-18。，18。，33。，48。，68。。此时，信噪比为10 dB，噪声为高斯白噪声，快拍数为1000。通过本文算法与Music-Iike算法估计得到的空间谱如图4所示。

  由图4可知，在信源数大于阵元数的情况下，本文算法能够成功分辨源信号，且分辨力较高，而由Music -like算法得到的空间谱只有4个谱峰，不能正确分辨出源信号，存在较高的测向误差。

  进一步分析本文算法的角度分辨力，实验中两信源的方向分别为18。和20。，信噪比为10 dB，其他实验条件同实验1。通过本文算法和各比较算法估计得到的空间谱如图5所示。

    如图5所示，本文算法能够成功分辨两个角度间隔为2。的信源，而其他算法得到的空间谱只有一个谱峰，无法成功分辨两信源。

    将两信源的角度间隔取值为1。~ 15。，每次增加1。，其他实验条件同上述实验。若与真实值相比，两信源的角度估计值的误差在±1。范围内，即时，认为成功分辨两信源。在每个角度间隔下进行100次实验，得到成功分辨信源的概率。

如图6所示，本文算法成功分辨信源的概率最高，在时，以概率1成功分辨信源。由于子空间类的Music-like算法同样实现了阵列扩展，所以其角度分辨力高于l1-SVD及SRACV算法。

实验5  比较各算法运算一次所需的时间。每次实验所用的计算机配置相同，得到的运算时间如表1所示。

    由表1可知，本文算法的运算时间略高于l1-SVD算法，而SRACV算法的耗时最长，Music-like算法的耗时最少，验证了对各算法计算复杂度的分析正确性。

5  结论

    本文利用阵列输出数据的四阶累积量矩阵构建了稀疏表示模型，在高斯白噪声以及色噪声背景下，该模型均能够抑制噪声项，由此利用二阶锥规划对模型求解时不需要选取平衡残差与结果稀疏性的正则化参数；四阶累积量矩阵的构造使得阵列中产生虚拟阵元，因此本文算法能够分辨的最大信源数大于实际阵元数；仿真表明本文算法具有较高的角度分辨力，在角度间隔时，能够成功分辨两信源。存在的不足是低信噪比时，算法性能受快拍数影响较大，少量的快拍数会增大估计误差，随着快拍数的增多，误差逐渐减

；本文构建的稀疏表示模型仅适用于非相关信号，因此算法不具备解相干能力。