一种新型陀螺寻北仪改进的步进迭代法

作者：张毅

陀螺寻北仪相对于磁罗盘的主要优势在于陀螺寻北仪指向真北而不是地磁北，并且不受周围环境磁场的影响。目前，摆式陀螺寻北仪通常采用粗、精寻北相结合的方式来有效提高寻北精度和速度。粗寻北的精度在±30'左右；精寻北在工程上常使用积分法，摆幅要求3'-5'。陀螺灵敏部下放后的初始摆幅受粗寻北精度、下放稳定性和转位误差等因素的影响，陀螺灵敏部下放后的摆幅通常超出精寻北的范围，因此必须采用适当的方法限制陀螺灵敏部的摆幅。

1  陀螺灵敏部摆幅的限制方法

由于使用的场合以及使用的条件不同，目前常使用4种方法限制陀螺灵敏部的摆幅，即电磁阻尼法、步进迭代法、平衡位置跟踪逆转点法和油液阻尼法。表1总结了4种方法的原理及优缺点。其中，步进迭代法以其限幅的高可靠性、工程实现简单等优点而被广泛应用于国内外陀螺寻北仪中，例如德国的GYROMAT系列陀螺经纬仪，国产Y/JTG-1，TZB-2等。

    本文提出一种改进的步进迭代法，根据初始下放角速度的大小选择不同的迭代策略。首先根据陀螺灵敏部的摆动规律，结合不同的初始下放角速度分析，提出两种不同的步进迭代策略；然后详细推导了在不同的初始方位角情况下，针对不同的初始方位角速度选择不同的步进迭代策略，并将两种情况统一成改进的步进迭代法；最后通过数值仿真验证了改进的步进迭代法的可行性。

2  陀螺灵敏部运动方程建立

    目前，列写摆式陀螺运动方程的方法主要有欧拉动力学方程、第二类拉格朗日方程以及动静法。文献[7 -8]针对框架式陀螺，分别使用上述3种方法列写了陀螺仪的运动方程；文献[9]通过使用陀螺的章动理论从欧拉一拉格朗日方程推导出陀螺的通用数学模型。

    摆式陀螺寻北的动力学模型如图1所示。陀螺灵敏部由陀螺房、悬挂柱组成，通过悬挂带悬挂于仪器壳体O点上。O1为灵敏部的重心，悬挂点与重心O1之间的距离Z称为倾心高，mg为灵敏部重力，HG为陀螺转子的动量矩。

    由式(2)可以得出，陀螺灵敏部转子轴绕真北方向做有偏移的正弦摆动，偏移的位置a_常称为摆动的平衡位置(aeq=λao)，如图2所示。

3  步进迭代策略的提出

    文献[5 -6]详细说明了步进法的限幅原理以及限幅的特点。方法的核心思想就是通过跟踪逆转点不断地释放悬带的弹性势能，进而减小系统的机械能，过程中陀螺灵敏部摆幅逐渐减小，扭力零位渐渐逼近真北。

    由于下放过程不稳定，导致陀螺灵敏部下放后存在初始角速度。图3中，横轴代表时间与真北向，纵轴代表陀螺灵敏部的方位角，3条曲线表示由于初始下放角速度的不同引起陀螺灵敏部摆动规律有所差异。红线表示陀螺灵敏部下放后，角速度使灵敏部远离北向；蓝线表示陀螺灵敏部下放后，角速度使灵敏部靠向北向；绿线表示一种比较理想的情况，即陀螺灵敏部下放角速度近似为零。由第一部分中式(2)可知：虽然陀螺灵敏部的下放角速度不同导致图3的3种情况，即摆幅4和相位口不同，但是3种情况的平衡位置aeq是相同的。

    首先，阐述两种不同的步进迭代策略。策略1：扭力零位跟踪每一个逆转点，传统的步进迭代法即采用这种策略。在图4中，扭力零位会跟踪A点，接着跟踪下一个逆转点A1点。策略2：在两个逆转点中扭力零位跟踪距北向较近的逆转点。在图4中，在S.B两个逆转点中，扭力零位跟踪B点。扭力零位跟踪到A1与跟踪到B的时间相同。因此通过比较A1与B的方位角决定采用的步进迭代策略。

4  改进的步进迭代法

    设陀螺灵敏部下放后的初始状态为（x10，x20），x10表示初始方位角，x20表示初始角速度，陀螺灵敏部下放对应的扭力零位的方位角为M，满足M=x10。首先研究x10>0，x20>0的情况（与图4对应）。对于x20≤0的情况（对应图3中的蓝线、绿线），策略1与策略2限幅效果相同。

    根据第一部分上述设定的参数可以解算出：跟踪A点后扭力零位O1的方位角为

跟踪A后摆幅的大小为

逆转点A1的方位角为

逆转点B的方位角为

    本文采用作商法比较逆转点A1和B的方位角绝对值的大小，方位角越小表明限幅效果越好。

f(x)，g(x)得

于是有

对g(x)求导，得

    函数g(x)及f(x)的函数曲线如图5所示，图中，虚线表示g（x），实线表示f(x)。

    由x20>0，得x>（1-λ）M，且随着x20的增大，x随之增大。由f(x)的函数性质，可得f(x)在（（1-λ）M，上单调增加；f(x)在(a，+∞)上单调减小，f(x)>1。

略2限幅精度要高；当x20∈（一∞，0]，策略1与策略2限幅精度相同。

    同理，对于X10 <0的情况，可以得出类似的结论。

    图6表示在不同的初始状态下，策略l与策略2的优先示意图。图中，1代表策略1，2代表策略2，上部分表示对于x10>0的情况，x20的不同取值对应不同的步进迭代策略；下部分表示x10<0的情况。

将上述的两种情况归纳总结为改进的步进迭代法：

5仿真

    为了验证改进步进迭代法的可行性，根据某陀螺寻北仪的技术参数，在Matlab中对改进步进迭代法的限幅效果进行仿真。不跟踪周期T= 120 s；零位修正系数A =0. 64;粗寻北精度为30'，作为初始方位角的参考值；精寻北要求的限幅精度δ=3'。计算可以得到

    在10组不同初始角速度情况下，对策略1，2分别进行仿真，结果如表2所示。表2中：精庋表示图4中使用不同的步进迭代策略对应的逆转点A1或B的方位角大小；限幅时间表示经过若干次限幅满足精寻北要求的时间。

仿真结果1-7组中：初始方位角速度分布于M=1.71的两侧。改进步进迭代法在1-4组对应的初始方位角速度，使用策略2。由表中数据可以看出，策略2的限幅精度高于策略1，策略2的限幅时间短于策略1；在5 -7组使用策略1，策略1的限幅精度高于策略2，策略1的限幅时间短于策略2。表2中用加粗数字表示改进的步进迭代法的仿真结果。传统步进迭代法对应表中的策略1，可以看出，在初始角速度较小的情况下（1-4组），改进步进迭代法要优于传统步进迭代法。初始角速度较大时（5 -7组），改进步进迭代法等同于传统方法。仿真结果8 -10组表明了第三部分中，对于X20≤0的情况策略1与策略2限幅效果相同。

通过分析可以得出：上述数值仿真结果验证了改进步进迭代法的可行性以及在初始角速度较小时，相对于传统步进迭代法的优越性。

6结论

本文在传统步进迭代法的基础上提出一种改进步进迭代法。首先根据不同的初始下放角速度，提出两种不同的步进迭代策略；然后详细推导了在不同的初始方位角情况下，针对不同的初始方位角速度选择不同的步进迭代策略，并将两种情况统一成改进步进迭代法；最后通过数值仿真验证了改进步进迭代法的可行性与优越性。由于改进步进迭代法是对传统步进迭代法在算法上的改进，且结论简单明了，因此无需对现有寻北仪的硬件结构进行更改，直接修改系统的控制程序便可投入工程应用。

7摘  要：为了提高摆式陀螺寻北仪的限幅效率，提出了一种改进的步进迭代法。首先，在建立陀螺灵敏部运动方程和分析传统步进迭代法的实现原理的基础上，根据初始下放角速度的大小提出不同的步进迭代策略；然后详细推导了改进的步进迭代法的实现原理；最后通过数值仿真验证了改进的步进迭代法的可行性。数值仿真算例表明：当初始下放角速度在一定范围内时，改进的步进迭代法相对于传统的步进迭代法限幅效率更高。改进的步进迭代法保留了传统步进法不需要增加系统硬件的优点，回避了电磁阻尼法的电磁干扰力矩的问题，保证了限幅的可靠性，为缩短寻北时间提供理论参考。